关于几种特殊矩阵的逆矩阵求法探讨

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1、-关于几种特殊矩阵的逆矩阵求法探讨数学学院数学（师范）专业2008级范佳利指导教师刘学文摘要：矩阵是高等代数中非常重要的内容之一，而在矩阵理论中较为基础的就是求矩阵的逆矩阵。本文在阶方阵求逆的方法基础上，归纳了几类特殊矩阵逆的求法，并从中找出一些初步的、具有应用价值的规律，简化了类似矩阵求逆问题的计算。关键词：阶矩阵；逆矩阵；伴随矩阵；线性变换Abstract:Matrixinlinearalgebraisaveryimportantpartofcontent,Andthematrixinversematrixisofmoreimportantpiece,Int

2、hispapertheinversesquarenorderbasedonmethod,Thethreekindsofspecialinversematrixisalsogiven,Andfindoutsomepreliminaryhasapplicationvalueofthelaw,Simplifytheinverseproblemofsimilarmatrixcalculation.Keyword:ordermatrix;inversematrix;adjointmatrix;linearconversion矩阵是高等代数的一个最基本的概念，其内容贯穿于高

3、等代数的始终，而矩阵问题中的求逆是矩阵内容中不可或缺的重要的一部分。本文在矩阵的逆的概念和相关性质、及其求逆矩阵的基本方法的基础上，归纳总结出几类特殊矩阵的逆矩阵的求法。1逆矩阵的基本概念与判定、性质1.1逆矩阵的定义定义1[1]对于级方阵，如果存在n级方阵，使得，则称是可逆矩阵（可逆的），称为的逆矩阵并记为.注1可逆矩阵必为方阵，其逆必唯一，且与为同阶方阵，即.1.2可逆矩阵的判定-页脚---定理1[1]设矩阵为阶可逆矩阵，矩阵可逆的充要条件是存在阶矩阵使得.定理2[1]设矩阵为可逆矩阵，则以下几个命题是等价的：(1)矩阵可逆；(2)矩阵的行列式；(3)矩阵的

4、伴随矩阵可逆；(4)矩阵的伴随矩阵的行列式；定理3[1]矩阵可逆的充要条件是存在阶矩阵使得().定理4[1]矩阵可逆的充要条件是矩阵为满秩矩阵(即).定理5[1]矩阵可逆的充要条件是矩阵与单位矩阵等价(对矩阵施行初等变换可以使矩阵转化为单位矩阵)定理6[1]矩阵可逆的充要条件是以矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组的解唯一.定理7[1]矩阵可逆的充要条件是矩阵可表示为一些初等矩阵的乘积.定理8[1]矩阵可逆的充要条件是矩阵的特征值均不为0.1.3可逆矩阵的性质(1)若可逆，则也可逆且；(2)若可逆，则也可逆且;(3)若可逆，数，则也可逆且；(4)若，都可逆，则也可逆且

5、.若；若；可推广为：若均可逆，则可逆且；-页脚---若可逆，若，(1)若可逆，则；(2)若可逆，则；注2若为同阶可逆矩阵，则不一定可逆.如不可逆.注3(4)的逆命题成立，即若可逆，则也可逆.这是因为：由于可逆，,所以也可逆.2逆矩阵的求法2.1定义法利用定义，当条件中有矩阵方程时，通过矩阵运算规律从矩阵方程中凑出的形式，从而可得.这一方法适用于抽象矩阵求逆.2.2公式法当级方阵可逆时，有.其中是的伴随矩阵.其中：.2.3初等变换法设阶矩阵，作矩阵-页脚---，然后对此矩阵施以初等行变换,若把子块变为,则子块将变为.即同样也可以作矩阵，然后对此矩阵只施以初等列变换

6、，即2.4高斯-约当法由定义，设（均为维向量），则，若将改写成，则。具体方法如下：写出的矩阵形式=由矩阵乘法写成方程形式经消元后将上式转化为如下形式即所以2.5分块矩阵法定理1[3]矩阵是一个满秩矩阵，若中存在-页脚---阶非零主子式，则一定可以分解成一个下三角分块矩阵与一个上三角分块矩阵的乘积，并且对于零元素特别多的矩阵，可以考虑用分块矩阵求逆，为可逆矩阵，则,，.2.6解线性方程组法设是非奇异矩阵，且令.因为，从而由分块矩阵性质可知，计算的问题等价于求解下列个线性方程组.，求解上述方程组即可求得的个列向量，也就求得.由于这n个方程组的系数矩阵相同，故可采用三

7、角分解法进行计算以节省工作量.三角分解法：设有方程组，并设，于是，其中于是求解的问题等价于求解两方程组和3特殊矩阵逆的求法-页脚---3.1类型一观察此题有比较明显的特点，现将矩阵分块，可根据分块矩阵逆矩阵性质求矩阵的逆.分块如下：可利用这个结论，在解决一些类似问题上可更加简便，如：-页脚---则可直接利用以上结论，可清楚的得知：3.2类型23.2.1已知：观察矩阵可发现此矩阵有一定的规律，如用公式法或者定义法，则计算肯定相对比较复杂。不妨从线性的角度来解答。先设线性方程组.其中，将这个方程相加，可得：-页脚---由第一个方程减去第二个方程得：由些得出从而类似的

8、，从第个方程减去第个方程