例谈轨迹方程的几种常见求法.doc

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1、例谈轨迹方程的几种常见求法石阡县第三高级中学张军求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的课题之一，是用代数的方法研究几何问题的基础。这类题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融于一体，因此也是历届高考考查的重要内容之一。一般地，求轨迹方程有直接和间接两种方式，本文将以例题的形式浅谈轨迹方程的几种常见求法：一、直接法当动点直接与已知条件发生联系时，在设曲线上动点的坐标为后，可根据题设条件将普通语言运用基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、面积公式等）变换成表示动点间的关系式（等式）的数学语言，从而得到轨迹方程。这种

2、求轨迹方程的方法称为直接法，这是探求轨迹刚才最基本的方法。例1.在平面直角坐标系中，点到点的距离的4倍与它到直线的距离的3倍之和记为.当点运动时，恒等于点的横坐标与18之和.求点的轨迹.解　设点的坐标为，则由题设知，，即①当时，由①得，化简得.4当时，由①得，化简得.故点的轨迹是由椭圆在直线的右侧部分与抛物线在直线的左侧部分(包括它与直线x＝2的交点)所组成的曲线(如图所示)。评注：本题考查了求轨迹方程的基本方法及两点间的距离公式、点到直线的距离等基础知识，同时也考查了绝对值的运算。直接法是求轨迹方程最常用也是最基本的方法之一，它的步骤是：①建

3、系；②设点；③列式；④化简；⑤证明。一、定义法当动点轨迹的条件符合某一基本轨迹定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线），我们可以直接根据定义写出动点的轨迹方程，这种方法称为定义法。例2.已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程.解　如图所示，设动圆与圆及圆分别外切于点和，根据两圆外切的条件，得，.∵，∴，即.4这表明动点与两定点、的距离的差是常数2，根据双曲线的定义，动点的轨迹为双曲线的左支(点与的距离大，与的距离小)，这里，则，设点的坐标为，其轨迹方程为.评注：如果在题设中有关于到两个定点距离之和为定值；到两个定点距离之差（或差的绝

4、对值）为定值；到定点和到定直线的距离相等等，可以考虑利用圆锥曲线的定义直接写出所求曲线的轨迹方程。一、代入法代入法又称为转移法或相关点法，若动点依赖于已知曲线上的另一动点的运动而运动，且点的坐标、可以用点的坐标、来表示，则可利用点在已知曲线上，其坐标满足曲线方程，将、代入已知曲线方程而求得动点的轨迹方程。例3.设点为双曲线上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程为解设，，则，，在上，为所求轨迹方程。评注：本题考查了随某点运动而运动的动点的轨迹方程的求法，其关键是寻找所求点与已知曲线上的动点之间的关系，在这里是借助了线段的中点坐标公式来

5、建立两动点之间的关系的。用代入法求轨迹方程常用的策略是中点坐标公式、定比分点坐标公式、三角形重心、对称性等。二、参数法4如果轨迹动点的坐标之间的关系不易找到，可以考虑将用一个或几个参数来表示，消去参数得到轨迹方程，此法称为参数法。参数法中常选变角、变斜率等为参数。例4.设抛物线的准线为，焦点为，顶点为，为抛物线上任意一点，于，求与的交点的轨迹方程。分析：涉及抛物线的动点，可以设点的坐标为参数，对抛物线，根据其方程可以设出含有一个参数的点的坐标，如抛物线上的点可以设为，也可以设为，后者较为简单。解设抛物线上点，直线的方程为，又，，直线的方程，它们

6、的交点由方程组确定。消去，得.交点的轨迹方程为.4