决胜2021届全国八省市新高考数学备考专题五 三角函数 第3讲 解三角形 解析版.doc

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1、第3讲解三角形考点1以平面几何为背景例1.(1)圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，在中由正弦定理得：，即，所以，又因为在中，，所以,

2、故选：D【点睛】本题考查了解三角形应用举例，考查了正弦定理，考查逻辑思维能力和数学运算求解能力.(2)为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了海里到达海岛.若巡逻舰从海岛出发沿直线到达海岛，则航行的方向和路程（单位：海里）分别为（）A．北偏东，B．北偏东，C．北偏东，D．北偏东，【答案】C【解析】据题意知，在中，，海里，海里，所以，所以海里，又，所以，又因为为锐角，所以，所以航行的方向和路程分别为北偏东，海里.故选：C.【点睛】本题考查了解三角形的实际应用，考查了余弦定理，考查逻辑

3、思维能力和数学运算求解能力.【跟踪演练】1.(1)为了增强数学的应用性，强化学生的理解，某学校开展了一次户外探究.当地有一座山，高度为，同学们先在地面选择一点，在该点处测得这座山在西偏北方向，且山顶处的仰角为；然后从处向正西方向走140米后到达地面处，测得该山在西偏北方向，山顶处的仰角为.同学们建立了如图模型，则山高为（）A．米B．米C．米D．米【答案】C【解析】设山的高度为，在中，，，在中，，，在中，，由余弦定理得，；即，化简得；又，所以解得；即山的高度为（米）.故选：C(2)数学兴趣小组为了测量校园外一座“不可到达”建筑物的高度，采用“两次测角法”，并自制了测量工具：将一个量角器放在复印机

4、上放大4倍复印，在中心处绑上一个铅锤，用于测量楼顶仰角（如图）；推动自行车来测距（轮子滚动一周为1.753米）.该小组在操场上选定A点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为37°；推动自行车直线后退，轮子滚动了10卷达到B点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为53°.测量者站立时的“眼高”为1.55m，根据以上数据可计算得该建筑物的高度约为___________米.（精确到0.1）参考数据：，【答案】31.6【解析】由题意画出简图，如图：由题意可得，，，所以，，设，则在中，，在中，，所以，解得，所以该建筑的高度约为米.故答案为：31.6.考点2以其他情境为背景例2.(1)

5、某公园有一个边长为的等边三角形花圃，现要在花圃中修一条篱笆，将花圃分成面积相等的两部分，则篱笆的最短长度为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设等边三角形花圃为，因为边长为，所以，设篱笆的长度为，的长为，则，因为，所以，即，所以，在中，由余弦定理可得，即，由基本不等式可得，当且仅当即时，篱笆长取得最小值为，故答案为D.【点睛】本题考查了设篱笆的长度为，的长为，先利用面积等于的面积的一半，即可求出，在中，由余弦定理可得，即可利用基本不等式求最值．(2)已知圆内接四边形中，，，，则__________．【答案】【解析】圆内接四边形中，，，，如图：可得，，因为，可得，，．则．故答案为．【点睛】应用

6、余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件．还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用．【跟踪演练】2.(1)欧几里得在《几何原本》中，以基本定义､公设和公理作为全书推理的出发点．其中第卷命题47是著名的毕达哥拉斯定理(勾股定理)，书中给出了一种证明思路：如图，中，，四边形､､都是正方形，于点，交于点．先证与全等，继而得到矩形与正方形面积相等；同理可得到矩形与正方形面积相等；进一步定理可得证．在该图中，若，则__________．【答案】【解析】设AB=k，AC=m，BC=n，可得，又，可得，在中，，又，解得，，由，化为，解得，又，可得，在中，，即

7、，可得．(2)如图，在已知的四边形中，，，，，，点为边上的动点，则的最小值为__________．【答案】【解析】因为在中，，，，所以，解得，在中，根据正弦定理，可得，解得，所以，因为，点为边上，所以，设，，所以=，，所以时，有最小值.考点3开放型问题　例3.(1)请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.①，②，为虚数单位，③的面积为在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，___