2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.2.3向量的数乘运算素养课件新人教A版必修第二册.ppt

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1、6.2.3向量的数乘运算【情境探究】1.(1)类比:实数运算,x+x+x=3x,思考a+a+a能否写成3a呢?提示:可以,即a+a+a=3a.(2)3a与a的方向有什么关系?-3a与a的方向呢?提示:3a与a的方向相同,-3a与a的方向相反.必备知识生成(3)按照向量加法的三角形法则,若a为非零向量,那么3a的长度与a的长度有何关系.提示:3a的长度是a的长度的3倍,即若

2、a

3、=λ,则

4、3a

5、=3λ.(4)实数a,b满足3(a+b)=3a+3b,(2+3)a=2a+3a,若把实数a,b换成向量a,b,上式

6、是否仍成立?提示:成立,向量同样满足分配律、结合律.2.(1)如果两个向量共线,则这两个向量具有哪几种情况?提示:方向相同或方向相反或其中一个为零向量.(2)若b=2a,b与a共线吗?λa与a(λ≠0,a≠0)的方向有何关系?提示:a与b共线,λa与a的方向相同或相反.(3)若两个非零向量a,b共线,是否一定存在实数λ使得b=λa?提示:一定存在,且是唯一的.【知识生成】1.向量的数乘一般地,实数λ与向量a的乘积是一个_____,这种运算叫做向量的数乘,记作λa.向量2.向量的数乘的长度与方向(1)长度:

7、

8、λa

9、=

10、λ

11、

12、a

13、.(2)方向:若a≠0,当λ>0时,λa的方向与a的方向_____;当λ<0时,λa的方向与a的方向_____.(3)几何意义:λa中的实数λ,叫做向量a的_____.λa可以看作是把向量a沿着a的方向(λ>0时)或a的反方向(λ<0时)扩大或缩小_____倍得到.相同相反系数

14、λ

15、3.向量的数乘运算律设λ,μ为实数,则(1)λ(μa)=(λμ)a.(2)(λ+μ)a=λa+μa.(3)λ(a+b)=λa+λb(分配律).特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)

16、=λa-λb.4.向量的线性运算向量的加法运算、减法运算、数乘向量运算统称为向量的线性运算,向量的线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,b以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.5.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使______.b=λa关键能力探究探究点一　向量的线性运算【典例1】(1)计算:①4(a+b)-3(a-b)-8a;②(5a-4b+c)-2(3a-2b+c);③(2)设向量a=3i+2j,b=2i-j,求+(2b-a)

17、.【思维导引】运用向量数乘的运算律求解,可类比实数运算中的合并同类项方法化简.【解析】(1)①原式=4a+4b-3a+3b-8a=-7a+7b.②原式=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c.③原式=(2)原式=a-b-a+b+2b-a=a+b【类题通法】向量线性运算的技巧(1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.(2)向量也可以通过列方程来解,把所求向量

18、当作未知数,利用代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.【定向训练】计算:(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a);(2)[2(2a+8b)-4(4a-2b)];(3)(m+n)(a-b)-(m-n)(a+b).【解析】(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b.(2)原式=(4a+16b-16a+8b)=(-12a+24b)=-2a+4b.(3)原式=m(a-b)+n(a-b)-m(a+b)+n(a+b)=(m+n-m+n)a+(-

19、m-n-m+n)b=2na-2mb.【补偿训练】若已知向量a,b满足(3a-2c)+4+(a+6b)=0,则c=________.【解析】(3a-2c)+4+(a+6b)=a-c+c-4b+a+6b=2a+2b+c=0,所以c=-2a-2b,c=-6a-6b.答案:-6a-6b探究点二　共线向量定理及其应用【典例2】设两个非零向量a与b不共线.(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b与a+kb共线.【思维导引】(1)欲证三点A,B,D共线,即

20、证存在实数λ,使=λ,只要由已知条件找出λ即可.(2)由两向量共线,列出关于a,b的等式,再由a与b不共线知,若λa=μb,则λ=μ=0.【解析】(1)因为=a+b,=2a+8b,=3(a-b),所以=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5,所以,共线,又因为它们有公共点B,所以A,B,D三点共线.(2)因为ka+b与a+kb共线,所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb