2021_2022学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.2.3向量的数乘运算课件新人教A版必修第二册.ppt

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1、6.2.3向量的数乘运算课标定位素养阐释1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算法则.2.理解平面向量数乘运算的几何意义.3.理解两个平面向量共线的含义.4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.5.加强直观想象和数学运算的核心素养.自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑思想方法随堂练习自主预习·新知导学一、向量的数乘运算【问题思考】1.如图,已知向量a,请作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a),并指出所得和向量与向量a的模、方向有什么关系.2.填表:3.做一做:已知非零向量a,b满足a=4b,则()A.

2、a

3、=

4、b

5、B.4

6、a

7、=

8、

9、b

10、C.a与b的方向相同D.a与b的方向相反解析:∵a=4b,4>0,∴

11、a

12、=4

13、b

14、.∵4b与b的方向相同,∴a与b的方向相同.答案:C二、数乘运算的运算律【问题思考】1.已知向量a,请通过作图判断以下结论是否成立.(1)3(2a)=6a;(2)(2+3)a=2a+3a;(3)2(a+b)=2a+2b.提示:各式均是成立的(如图).(1)3(2a)=6a;(2)(2+3)a=2a+3a;(3)2(a+b)=2a+2b.2.填空:设λ,μ为实数,则:(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λ

15、b(分配律).特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.3.向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.4.做一做:若a=b+c,则化简3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)的结果为()A.-aB.-4bC.cD.a-b解析:3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)=3a+6b-6b-2c-2a-2b=(3-2)a+(6-6-2)b-2c=a-2(b+c)=a-2

16、a=-a.答案:A三、共线向量定理【问题思考】1.a=λb⇒a与b共线,对吗?提示:正确.2.若a与b共线,一定有a=λb吗?提示:不一定.当b=0,a=0时,λ有无数个值;当b=0,a≠0时,λ无解;当b≠0时,有唯一λ,使a=λb.三、共线向量定理【问题思考】1.a=λb⇒a与b共线,对吗?提示:正确.2.若a与b共线,一定有a=λb吗?提示:不一定.当b=0,a=0时,λ有无数个值;当b=0,a≠0时,λ无解;当b≠0时,有唯一λ,使a=λb.3.填空:向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.4.做一做:若

17、向量e1,e2不共线,则下列各组中,向量a,b共线的有.(填序号)解析:①中,a=-b,所以a,b共线;②中,b=-2a,所以a,b共线;③中,a=4b,所以a,b共线;④中,不存在λ∈R,使a=λb,所以a,b不共线.答案:①②③【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)对于任意向量a和任意实数λ,λa与a一定是共线向量.(√)(2)向量λa与a的方向不是相同就是相反.(×)(3)若向量a和b共线,则必有b=λa.(×)(4)若向量a和b不共线,且λa=μb,则必有λ=μ=0.(√)合作探究·释疑

18、解惑探究一探究二探究三探究一向量的线性运算分析:根据向量的线性运算法则求解.向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算.例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.(2)原式=m(a-b)+n(a-b)-m(a+b)+n(a+b)=ma-mb+na-nb-ma-mb+na+nb=(m+n-m+n)a+(-m-n-m+n)b=2na-2mb.探究二向量线性运算的综合应用【例2】在△ABC中.用已知向量表示待求向量的一般步骤:提醒:用已知向量

19、表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系.探究三共线向量定理及其应用本例(2)中,条件改为“欲使ke1+e2和e1+ke2共线同向”,求实数k的值.解:∵ke1+e2与e1+ke2共线反向,∴存在实数λ(λ>0),使ke1+e2=λ(e1+ke2),则(k-λ)e1=(λk-1)e2,由于e1与e2不共线,1.证明三点共线的方法:2.根据向量共线求参数时,应熟记并能灵活运用“若非零向量e1,e2不共线,且λe1=μe2,则必有λ=μ=0.”【变式训练3】已知非零向量e1,e2不共线,且向量ke1-4e2和3e1-ke2反向共线,求实数k的值

20、.解:因为向量ke1-4e2与3e1-ke2反向共线,所以存在实数λ(λ<0),使得ke1-4e2=λ(3e1-ke2),即ke1-4e2=3λe1-kλe2,所以

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1、6.2.3向量的数乘运算课标定位素养阐释1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算法则.2.理解平面向量数乘运算的几何意义.3.理解两个平面向量共线的含义.4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.5.加强直观想象和数学运算的核心素养.自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑思想方法随堂练习自主预习·新知导学一、向量的数乘运算【问题思考】1.如图,已知向量a,请作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a),并指出所得和向量与向量a的模、方向有什么关系.2.填表:3.做一做:已知非零向量a,b满足a=4b,则()A.

2、a

3、=

4、b

5、B.4

6、a

7、=

8、

9、b

10、C.a与b的方向相同D.a与b的方向相反解析:∵a=4b,4>0,∴

11、a

12、=4

13、b

14、.∵4b与b的方向相同,∴a与b的方向相同.答案:C二、数乘运算的运算律【问题思考】1.已知向量a,请通过作图判断以下结论是否成立.(1)3(2a)=6a;(2)(2+3)a=2a+3a;(3)2(a+b)=2a+2b.提示:各式均是成立的(如图).(1)3(2a)=6a;(2)(2+3)a=2a+3a;(3)2(a+b)=2a+2b.2.填空:设λ,μ为实数,则:(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λ

15、b(分配律).特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.3.向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.4.做一做:若a=b+c,则化简3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)的结果为()A.-aB.-4bC.cD.a-b解析:3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)=3a+6b-6b-2c-2a-2b=(3-2)a+(6-6-2)b-2c=a-2(b+c)=a-2

16、a=-a.答案:A三、共线向量定理【问题思考】1.a=λb⇒a与b共线,对吗?提示:正确.2.若a与b共线,一定有a=λb吗?提示:不一定.当b=0,a=0时,λ有无数个值;当b=0,a≠0时,λ无解;当b≠0时,有唯一λ,使a=λb.三、共线向量定理【问题思考】1.a=λb⇒a与b共线,对吗?提示:正确.2.若a与b共线,一定有a=λb吗?提示:不一定.当b=0,a=0时,λ有无数个值;当b=0,a≠0时,λ无解;当b≠0时,有唯一λ,使a=λb.3.填空:向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.4.做一做:若

17、向量e1,e2不共线,则下列各组中,向量a,b共线的有.(填序号)解析:①中,a=-b,所以a,b共线;②中,b=-2a,所以a,b共线;③中,a=4b,所以a,b共线;④中,不存在λ∈R,使a=λb,所以a,b不共线.答案:①②③【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)对于任意向量a和任意实数λ,λa与a一定是共线向量.(√)(2)向量λa与a的方向不是相同就是相反.(×)(3)若向量a和b共线,则必有b=λa.(×)(4)若向量a和b不共线,且λa=μb,则必有λ=μ=0.(√)合作探究·释疑

18、解惑探究一探究二探究三探究一向量的线性运算分析:根据向量的线性运算法则求解.向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算.例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.(2)原式=m(a-b)+n(a-b)-m(a+b)+n(a+b)=ma-mb+na-nb-ma-mb+na+nb=(m+n-m+n)a+(-m-n-m+n)b=2na-2mb.探究二向量线性运算的综合应用【例2】在△ABC中.用已知向量表示待求向量的一般步骤:提醒:用已知向量

19、表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系.探究三共线向量定理及其应用本例(2)中,条件改为“欲使ke1+e2和e1+ke2共线同向”,求实数k的值.解:∵ke1+e2与e1+ke2共线反向,∴存在实数λ(λ>0),使ke1+e2=λ(e1+ke2),则(k-λ)e1=(λk-1)e2,由于e1与e2不共线,1.证明三点共线的方法:2.根据向量共线求参数时,应熟记并能灵活运用“若非零向量e1,e2不共线,且λe1=μe2,则必有λ=μ=0.”【变式训练3】已知非零向量e1,e2不共线,且向量ke1-4e2和3e1-ke2反向共线,求实数k的值

20、.解:因为向量ke1-4e2与3e1-ke2反向共线,所以存在实数λ(λ<0),使得ke1-4e2=λ(3e1-ke2),即ke1-4e2=3λe1-kλe2,所以

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