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1、解析几何大题训练431已知点H（－3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足·=0，=－，（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）过点T（－1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E（x0,0），使得△ABE为等边三角形，求x0的值.解:（1）设点M的坐标为(x,y)，由=－,得P(0,－),Q(,0),由·=0，得（3，－）(x,)=0,又得y2=4x,由点Q在x轴的正半轴上，得x＞0,所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线
2、，除去原点.（2）设直线l:y=k(x+1),其中k≠0,代入y2=4x,得k2x2+2(k2－2)x+k2=0,①设A（x1,y1）,B(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个实根，∴x1+x2=－,x1x2=1,所以，线段AB的中点坐标为(,),线段AB的垂直平分线方程为y－=－(x－),令y=0,x0=+1,所以点E的坐标为(+1,0)因为△ABE为正三角形，所以点E（+1,0）到直线AB的距离等于｜AB｜,而｜AB｜==·,所以，=,解得k=±,得x0=.32、如右图，已知⊙A：(x+2)2+y2=，
3、⊙B:(x-2)2+y2=，动圆P与⊙A、⊙B都相外切.(1)动圆圆心P的轨迹方程；yx(2)若直线y=kx+1与(1)中的曲线有两个不同的交点P1、P2，求k的取值范围.（1）P的轨迹是双曲线的右支，a=1，c=2，方程为：（2）联立方程组消y得：在[1,+]有两不同的解，则解得k的范围是33．如图，、为圆与轴的两个交点，为垂直于轴的弦，且与的交点为。（1）求动点的轨迹方程；（2）记动点的轨迹为曲线，若过点的直线与曲线交于轴右边不同两点、，且，求直线的方程。（1）由图可知。设，则×可得，由可得，。（2）设直线
4、的方程为则消去可得。直线交双曲线的右支于不同两点，，解得。。消去可得（舍正），，所求直线的方程为。34．已知点A和B,动点C到A、B的距离的差的绝对值为2.（1）求动点C的轨迹方程；（2）若动点C的轨迹与直线y=x－2交于D、E两点，求线段DE的长.（3）试问：在动点C的轨迹中是否存在被点M（1，1）平分的弦？若存在，求出弦所在的直线方程；若不存在，请说明理由。解：(1)设点C（x，y），则
5、CA
6、－
7、CB
8、=±2根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线，依题意，设其方程为：.∵△＞0，∴直线与双曲线有两个交点
9、D、E，设D(x1，y1)，E（x2，y2），则x1+x2=﹣4，x1x2=﹣6（3）假设存在，易知弦所在直线斜率存在，设弦所在的直线方程为,弦两端点分别为，由，得，是弦的MN中点，，即把代入得，即说明直线PQ与双曲线不相交故不存在被M（1，1）平分的弦35.已知定点，动点P满足（1）求动点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状；（2）当时，求的取值范围。（1）设动点，则，，整理得：若，方程为，表示过点平行于轴的直线，若，方程为，表示以为圆心，以为半径的圆。（2）当时，方程化为，又的范围为。36．已知点A(0,1),x
10、、yÎR，m≥2，设i、j为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，若向量p=(x+m)i+yj,q=(x-m)i+yj，且
11、p
12、-
13、q
14、=4.（1）求动点M(x,y)的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；（2）设直线l：y=x-3与点M的轨迹交于B、C两点，问是否存在实数m，使得•=？若存在，求出m的值；若不存在，试说明理由.解：（1）因
15、p
16、=,
17、q
18、=，且
19、p
20、-
21、q
22、=4,故点M(x,y)到定点F1(-m,0),F2(m,0)的距离之差为4.∴当2m=4即m=2时，点M的轨迹是一条射线，方程为y=0(x
23、≥2),当2m>4即m>2时，点M的轨迹是以F1(-m,0),F2(m,0)为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为：(x≥2).（2）当m=2时，显然不合题意；当m>2时，点M的轨迹方程为(x≥2).设B(x1,y1)、C(x2,y2)(x1≥2,x2≥2)，则=(x1,y1-1),=(x2,y2-1),又•=得：x1x2+(y1-1)(y2-1)=.把y1=x1-3,y2=x2-3代入上式整理得：5x1x2-8(x1+x2)+46=0①由消去y得：(m2-5)x2+12x-4m2-20=0②把x1+x2=-
24、,x1x2=代入①，并解得m2=9.当m2=9时，方程②为x2+3x-14=0,x1x2=-14,而x1≥2,x2≥2，因此满足条件的m值不存在.37．如图所示，点点P在轴上运动，M在x轴上，N为动点，且0（1）求点N的轨迹C的方程；（2）过点的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A，B两点，设点，的夹角为，求证：解：（1）设则由①0，0，即并代入①，得为所求.（2）设l的方程为设则38
