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1、解析几何大题训练1、如图，已知A（，B、C两点分别在轴和轴上运动，并且满足，（1）求动点Q的轨迹方程；（2）设过点A的直线与点Q的轨迹交于E、F两点，，求直线E、F的斜率之和。解（1）由已知（2）设过点A的直线为…9分，所以，由,得=02.在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为A（0，－1），B（0,1）平面内两点G、M同时满足①,②==③∥（1）求顶点C的轨迹E的方程（2）设P、Q、R、N都在曲线E上，定点F的坐标为（,0），已知∥,∥且·=0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.（1）设C(x,y)，,由①知,G为△ABC的重
2、心，G(,)由②知M是△ABC的外心，M在x轴上由③知M（，0），由得化简整理得：（x≠0）（2）F（，0）恰为的右焦点设PQ的斜率为k≠0且k≠±，则直线PQ的方程为y=k(x－)由设P(x1,y1)，Q(x2,y2)则x1+x2=,x1·x2=则
3、PQ
4、=·=·=RN⊥PQ,把k换成得
5、RN
6、=S=
7、PQ
8、·
9、RN
10、==)≥2，≥16≤S<2，(当k=±1时取等号)又当k不存在或k=0时S=2综上可得≤S≤2Smax=2，Smin=3、已知直线过椭圆E:的右焦点，且与E相交于两点.①设（为原点），求点的轨迹方程；②若直线的倾斜角为
11、，求的值.oyxPQF解：①设由，易得右焦点’当直线轴时，直线的方程是：，根据对称性可知当直线的斜率存在时，可设直线的方程为代入E有;于是 ; 消去参数得而也适上式，故R的轨迹方程是②设椭圆另一个焦点为，在中设，则由余弦定理得’同理，在，设，则也由余弦定理得’于是4、给定抛物线C：y2=4x，过点A（－1，0）斜率为k的直线与C相交于M，N两点.（I）设线段MN的中点在直线x=3上，求k的值；（II）设求的取值范围.解（I）过点A（－1，0）斜率为k的直线为，因为线段MN的中点在直线x=3上，所以所以，（此时（*）式的判别式大于零）（
12、II）由题设①②即由②得③由①、③得，所以，，因为，注意到，所以的取值范围是.5、已知O为原点,点P是直线x=-1上一动点,满足,,(1)求Q点的轨迹方程OFxyP(2)直线l的方程y=k(x–2)与Q点的轨迹交于两点A、B，设∠AFB=θ，试问θ角能否等于？若能，求出相应的直线l的方程；若不能，请说明理由．解：（1）设Q,由已知得Q点在FP的中垂线上,即,根据抛物线的定义知Q点的轨迹为抛物线.设yFOxAB所以Q点的轨迹方程为.(1)设l方程为y=k(x–2)与抛物线y2=4x的交点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，假定
13、θ=p，则有cosθ=－，如图，即=－(*)由得ky2－4y-8=0(k≠0)得y1y2=－8，x1x2==4．由定义得
14、AF
15、=x1+1，
16、BF
17、=x2+1．从而有
18、AF
19、2+
20、BF
21、2－
22、AB
23、2=(x1+1)2+(x2+1)2－(x1－x2)2－(y1－y2)2=－2(x1+x2)－6，
24、AF
25、·
26、BF
27、=(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=x1+x2+5将代入(*)得=－，即x1+x2+1=0．这与x1>0且x2>0相矛盾！所以不能。6、双曲线的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为，其中A（0，－b）,B（a
28、,0）.（I）求双曲线的标准方程；（Ⅱ）设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，点M为线段PQ中点.若点M在直线上的射影为N，满足且，求直线l.的方程？解：（I）依题意有：解得：所以，所求双曲线的方程为（II）（法1）当直线轴时，，不合题意.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为.①因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以设是方程①的两个正根，于是有②因为所以
29、PM
30、=
31、MN
32、=
33、MQ
34、=
35、PQ
36、=5.又
37、MN
38、=x0+2=5，即x0=3，而.②式，符合题意.所以直线l的方程为：（x－2）.又.显然k=
39、±3满足②式.所以所求直线的方程为.7、设的图象上任意两点，且，已知点M的横坐标为（I）求证：M点的纵坐标为定值；（Ⅱ）若；（Ⅲ）已知为数列的前n项和，若都成立，试求的取值范围.（Ⅰ）证明：M是AB的中点，设M点的坐标为（x，y）（Ⅱ)∴M点的纵坐标为定值。（II）解：由（I）知.（III）因此8、已知F（0，a）（a＞0），点P在x轴上运动，M点在y轴上，N为动点，且，.（1）求动点N的轨迹C的方程；（2）由直线y=-a上一点T向曲线C引两条切线，切点分别为A、B，证明：AT⊥BT且直线AB过点F.（1）设N（x,y）,P(x，0)
40、，M(0,y),则由，得x=,y=-y,∴P(,0),Q(0,-y),∴,又∵，∴-+ay=0,∴动点N的轨迹方程为x=4ay.（2）证明：设T（x,-a）,过T点向曲线C所引切线方程为:y+a=k(x-x),由消去y得
