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1、解析几何大题训练（一）一、面积问题1．已知椭圆上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线的斜率为，直线与椭圆C交于两点．点为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．2．已知圆的公共点的轨迹为曲线,且曲线与轴的正半轴相交于点．若曲线上相异两点、满足直线,的斜率之积为．（1）求的方程；（2）求的面积的最大值．3.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的
2、最大值。4.设动点到定点的距离比到轴的距离大．记点的轨迹为曲线C．（1）求点的轨迹方程；（2）过作互相垂直的两直线交曲线C于G、H、R、S，求四边形面积的最小值．5.已知双曲线C的方程为(a>0,b>0),离心率e=,顶点到渐近线的距离为.(1)求双曲线C的方程;(2)如图,P是双曲线C上一点,A、B两点在双曲线C的两条渐近线上,且分别位于第一、二象限.若=λ,λ∈.求△AOB的面积的取值范围.6.如图,为坐标原点,椭圆的左右焦点分别为,离心率为;双曲线的左右焦点分别为,离心率为,已知,且.(1)求的方程;
3、(2)过点作的不垂直于轴的弦,为的中点,当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值.1．（1）由条件得：，解得，所以椭圆的方程为（2）设的方程为，点由消去得．令，解得，由韦达定理得．则由弦长公式得．又点P到直线的距离，∴，2.（1）设⊙，⊙的公共点为,由已知得，，故,因此曲线是长轴长焦距的椭圆，且，所以曲线的方程为；（2）设，代入椭圆E的方程得：…．①，由且得：或，又，当且仅当，即时，的面积最大，最大值为3.解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为。（Ⅱ）设，。（1）当轴时，。（2）当与轴不垂直时，
4、设直线的方程为。由已知，得。把代入椭圆方程，整理得，，。。当且仅当，即时等号成立。当时，，综上所述。当最大时，面积取最大值。4.（1）由题意知，所求动点为以为焦点，直线为准线的抛物线，方程为．（2）设过F的直线方程为，，，由得，由韦达定理得，，所以，同理．所以四边形的面积，即四边形面积的最小值为8．5.解:(1)由题意知,双曲线C的顶点(0,a)到渐近线ax-by=0的距离为,∴=,即=.由得∴双曲线C的方程为-x2=1.(2)由(1)知双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x,设A(m,2m),B(-n,2n
5、),m>0,n>0.由=λ得P点坐标为,将P点坐标代入-x2=1,化简得mn=.设∠AOB=2θ,∵tan(-θ)2.∴tanθ=,sin2θ=.又
6、OA
7、=m,
8、OB
9、=n,∴S△AOB=
10、OA
11、·
12、OB
13、·sin2θ=2mn=+1,记S(λ)=+1,λ∈.则S′(λ)=.由S′(λ)=0得λ=1.又S(1)=2,S=,S(2)=,∴当λ=1时,△AOB的面积取得最小值2,当λ=时,△AOB的面积取得最大值.∴△AOB面积的取值范围是.6.(1)由题可得,且,因为,且,所以且且,所以椭圆方程为,双曲线的方
14、程为.(2)由(1)可得,因为直线不垂直于轴,所以设直线的方程为,联立直线与椭圆方程可得,则,,则,因为在直线上,所以,则直线的方程为,联立直线与双曲线可得,则,则,设点到直线的距离为,则到直线的距离也为,则,因为在直线的两端,所以,则,又因为在直线上,所以,则四边形面积,因为,所以当时,四边形面积的最小值为.
