解析几何大题训练2.doc

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1、解析几何大题训练（二）二、定值、定点问题（1）定点问题1.抛物线在抛物线上，,求证：直线过定点。2.椭圆直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点。求证：直线过定点，并求出定点的坐标。3.如图，椭圆：（）和圆：，已知圆将椭圆的长轴三等分，且，椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点、．（Ⅰ）求椭圆的方程；（2）若直线、分别与椭圆相交于另一个交点为点、．求证：直线经过一定点；4.在坐标系中，两点的坐标分别为，动点满足:直线与直线的斜率之积为．（1）求动点的轨迹方程；（2）设为动点的轨迹的左右顶点，为直线上的一动点（点不在x轴上），连交的轨迹于点，连并延长交的轨迹于

2、点，试问直线是否过定点？若成立，请求出该定点坐标，若不成立，请说明理由．（2）定值问题5.在平面直角坐标系中，已知点，点B在直线：上运动，过点B与垂直的直线和线段AB的垂直平分线相交于点．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过（1）中轨迹E上的点P(1,2)作两条直线分别与轨迹E相交于，两点．试探究：当直线PC，PD的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．6.已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上，为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角，求直线的斜率的取值范围；（3）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两

3、条切线，切点分别为（不在坐标轴上），若直线在轴、轴上的截距分别为、，证明：为定值．7.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于两点，且，判断的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．8.已知椭圆的左右焦点分别为，点为短轴的一个端点，．（1）求椭圆的方程；（2）如图，过右焦点，且斜率为的直线与椭圆相交于两点，为椭圆的右顶点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为．求证：为定值．3.（1）依题意，，则，∴，又，∴，则，∴椭圆方程为．（2）①由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则：

4、，由得或∴，用去代，得，，∴：，即，∴直线经过定点．4.（1）已知，设动点的坐标，所以直线的斜率，直线的斜率（），又，所以，即．（2）设，又，则，故直线的方程为：，代入椭圆方程并整理得：。由韦达定理：即，，同理可解得：故直线的方程为，即，故直线恒过定点．5.（1）依题意，得∴动点M的轨迹E是以为焦点，直线为准线的抛物线，∴动点M的轨迹E的方程为．（2）∵P(1,2)，，在抛物线上，由①-②得，，∴直线的斜率为，③设直PC的斜率为k，则PD的斜率为－k，可设直线PC方程为y-2=k(x-1)，由得：ky2-4y-4k+8=0,由，求得y1=-2，同理可求得y2=－-2∴∴直线CD的斜率为定值．

5、6.解：（Ⅰ）由题意得：所以又因为点在椭圆上，所以，可解得所以椭圆标准方程为．（Ⅱ）设直线方程为，设、由得：，因为，所以，又，因为为锐角，所以，即，所以，所以．所以即，所以．所以，解得或（Ⅲ）由题意：设点，，,因为不在坐标轴上，所以，直线的方程为化简得：④同理可得直线的方程为⑤把点的坐标代入④、⑤得所以直线的方程为，令，得，令得，所以，又点在椭圆上，所以，即为定值．7.（1）由题意知，∴，即又，∴，椭圆的方程为(2)设，由得，，.,,,,8.（1）由条件可知，故所求椭圆方程为.（2）设过点的直线方程为：.由可得：因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，即恒成立.设点，则.因为直线的方程为：，直

6、线的方程为：，令，可得，，所以点的坐标.直线的斜率为，所以为定值.