解析几何大题带答案

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1、三、解答题26.（江苏18）如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）当直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分.解：（1）由题设知，所以线段MN中点的坐标为，由于直线PA平

2、分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以（2）直线PA的方程解得于是直线AC的斜率为（3）解法一：将直线PA的方程代入则14故直线AB的斜率为其方程为解得.于是直线PB的斜率因此解法二：设.设直线PB，AB的斜率分别为因为C在直线AB上，所以从而因此28.（北京理19）已知椭圆.过点（m,0）作圆的切线I交椭圆G于A，B两点.（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（II）将表示为m的函数，并求的最大值.（19）（共14分）解：（Ⅰ）由已知得14所以所以椭圆G的焦点坐标为离心率为（Ⅱ）由题意知，.当时

3、，切线l的方程，点A、B的坐标分别为此时当m=－1时，同理可得当时，设切线l的方程为由设A、B两点的坐标分别为，则又由l与圆所以由于当时，所以.14因为且当时，

4、AB

5、=2，所以

6、AB

7、的最大值为2.32.（湖南理21）如图7，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的长半轴长。（Ⅰ）求C1，C2的方程；（Ⅱ）设C2与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E．（i）证明：MD⊥ME;（ii）记△MAB,△MDE的面积分别是．问：是否存在直线l,使得?请说明理由。解

8、：（Ⅰ）由题意知故C1，C2的方程分别为（Ⅱ）（i）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为.由得.设是上述方程的两个实根，于是又点M的坐标为（0，—1），所以14故MA⊥MB，即MD⊥ME.（ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为解得则点A的坐标为.又直线MB的斜率为，同理可得点B的坐标为于是由得解得则点D的坐标为又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标为于是.因此由题意知，14又由点A、B的坐标可知，故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为34.（全国大纲理21）已知O为坐标原点，F为椭圆在

9、y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B两点，点P满足（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．解：（I）F（0，1），的方程为，代入并化简得…………2分设则由题意得14所以点P的坐标为经验证，点P的坐标为满足方程故点P在椭圆C上。…………6分（II）由和题设知，PQ的垂直平分线的方程为①设AB的中点为M，则，AB的垂直平分线为的方程为②由①、②得的交点为。…………9分故

10、NP

11、=

12、NA

13、。又

14、NP

15、=

16、NQ

17、，

18、NA

19、=

20、NB

21、，所以

22、NA

23、=

24、NP

25、=

26、

27、NB

28、=

29、MQ

30、，由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上…………12分36.（山东理22）14已知动直线与椭圆C:交于P、Q两不同点，且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点.（Ⅰ）证明和均为定值;（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求的最大值；（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.（I）解：（1）当直线的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以因为在椭圆上，因此①又因为所以②由①、②得此时（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为由题意知m，将其代入，得，其中即

31、…………（*）14又所以因为点O到直线的距离为所以又整理得且符合（*）式，此时综上所述，结论成立。（II）解法一：（1）当直线的斜率存在时，由（I）知因此（2）当直线的斜率存在时，由（I）知14所以所以，当且仅当时，等号成立.综合（1）（2）得

32、OM

33、·

34、PQ

35、的最大值为解法二：因为所以即当且仅当时等号成立。因此

36、OM

37、·

38、PQ

39、的最大值为（III）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得证明：假设存在，由（I）得14因此D，E，G只能在这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾，所以椭圆C上不存在满足

40、条件的三点D，E，G.40.（天津理18）在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点．已知△为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的