导数、解析几何大题及答案

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1、20．已知抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=4与x轴的交点为P，与抛物线的交点为Q，且．（1）求抛物线的方程；（2）如图所示，过F的直线l与抛物线相交于A，D两点，与圆x2+（y﹣1）2=1相交于B，C两点（A，B两点相邻），过A，D两点分别作我校的切线，两条切线相交于点M，求△ABM与△CDM的面积之积的最小值．8解：（1）由题意可知P（4，0），Q（4，），丨QF丨=+，由，则+=×，解得：p=2，∴抛物线x2=4y；（2）设l：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得：x2﹣4kx﹣4=0，则x1x

2、2=﹣4，由y=x2，求导y′=，直线MA：y﹣=（x﹣x1），即y=x﹣，同理求得MD：y=x﹣，，解得：，则M（2k，﹣1），∴M到l的距离d==2，∴△ABM与△CDM的面积之积S△ABM•S△CDM=丨AB丨丨CD丨•d2，=（丨AF丨﹣1）（丨DF丨﹣1）•d2，8=y1y2d2=•×d2，=1+k2≥1，当且仅当k=0时取等号，当k=0时，△ABM与△CDM的面积之积的最小值1821．已知函数f（x）=lnx﹣x．（1）证明：对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有

3、f（x1）

4、＞；（2）设m＞n＞0，比较与的大小，并说明理由8（

5、1）证明：因为f′（x）=，故f（x）在（0，1）上是增加的，在（1，+∞）上是减少的，f（x）max=f（1）=ln1﹣1=﹣1，

6、f（x）

7、min=1，设G（x）=，则G′（x）=，故G（x）在（0，e）上是增加的，在（e，+∞）上是减少的，故G（x）max=G（e）=＜1，G（x）max＜

8、f（x）

9、min，所以

10、f（x1）

11、＞对任意的x1，x2∈（0，+∞）恒成立；（2）解：==•，且=×，∵m＞n＞0，∴﹣1＞0，故只需比较ln与的大小，令t=（t＞1），设G（t）=lnt﹣=lnt﹣，8则G′（t）=﹣=，因为t＞1，所以G′（

12、t）＞0，所以函数G（t）在（1，+∞）上是增加的，故G（t）＞G（1）=0，所以G（t）＞0对任意t＞1恒成立，即ln＞，从而有＞．819．（13分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1和F2，离心率e=，点F2到右准线l的距离为．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）设M、N是右准线l上两动点，满足=0．当

13、MN

14、取最小值时，求证：M，N两点关于x轴对称．解：（1）因为，F2到l的距离，所以由题设得，解得，．由．（Ⅱ）证明：由，a=2得．8则l的方程为．故可设．=（2+，y1），=（2﹣，y2），由=0知，3×+y1y2=0，得y1y2=

15、﹣6，所以y1y2≠0，，

16、

17、=

18、y1﹣y2

19、=

20、y1+

21、=

22、y1

23、+，当且仅当时，上式取等号，此时y1=﹣y2．即M，N两点关于x轴对称．20．（14分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象经过原点，且在x=1处取得极大值．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）若方程f（x）=﹣恰好有两个不同的根，求f（x）的解析式；（Ⅲ）对于（2）中的函数f（x），若对于任意实数α和β恒有不等式

24、f（2sinα）﹣f（2sinβ）

25、≤m成立，求m的最小值．8解：（Ⅰ）f（0）=0⇒c=0，f'（x）=3x2+2ax+b，f'（1）=0⇒b=﹣2a﹣

26、3，…2分∴f'（x）=3x2+2ax﹣（2a+3）=（x﹣1）（3x+2a+3），由f'（x）=0⇒x=1或因为当x=1时取得极大值，所以，所以a的取值范围是：（﹣∞，﹣3）；…4分（Ⅱ）由下表：xx＜1x=1f'（x）+0﹣0﹣f（x）递增极大值﹣a﹣2递减极小值递增…7分画出f（x）的简图：依题意得：，解得：a=﹣9，所以函数f（x）的解析式是：f（x）=x3﹣9x2+15x；…9分（Ⅲ）对任意的实数α，β都有﹣2≤2sinα≤2，﹣2≤2sinβ≤2，依题意有：函数f（x）在区间上的最大值与最小值的差不大于m，…10分在区间上有：f

27、（﹣2）=﹣8﹣36﹣30=﹣74f（1）=7，f（2）=8﹣36+30=2f（x）的最大值是f（1）=7，8f（x）的最小值是f（﹣2）=﹣8﹣36﹣30=﹣74，…13分所以m≥81即m的最小值是81．…14分．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆C'：=1的一个焦点重合，点A（x0，2）在抛物线上，过焦点F的直线l交抛物线于M、N两点．（1）求抛物线C的方程以及

28、AF

29、的值；（2）记抛物线C的准线与x轴交于点B，若，

30、BM

31、2+

32、BN

33、2=40，求实数λ的值．解：（1）依题意，椭圆中，a2=6，b2=5，故c2=a

34、2﹣b2=1，故，则2p=4，可得抛物线C的方程为y2=4x．将A（x0，2）代入y2=4x，解得x0=1，故．（2）依题意，F（1，0），设l：x=my+1，设M（x1，y1）