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时间:2019-06-26
《导数、解析几何大题及答案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、20.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,直线x=4与x轴的交点为P,与抛物线的交点为Q,且.(1)求抛物线的方程;(2)如图所示,过F的直线l与抛物线相交于A,D两点,与圆x2+(y﹣1)2=1相交于B,C两点(A,B两点相邻),过A,D两点分别作我校的切线,两条切线相交于点M,求△ABM与△CDM的面积之积的最小值.8解:(1)由题意可知P(4,0),Q(4,),丨QF丨=+,由,则+=×,解得:p=2,∴抛物线x2=4y;(2)设l:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立,整理得:x2﹣4kx﹣4=0,则x1x
2、2=﹣4,由y=x2,求导y′=,直线MA:y﹣=(x﹣x1),即y=x﹣,同理求得MD:y=x﹣,,解得:,则M(2k,﹣1),∴M到l的距离d==2,∴△ABM与△CDM的面积之积S△ABM•S△CDM=丨AB丨丨CD丨•d2,=(丨AF丨﹣1)(丨DF丨﹣1)•d2,8=y1y2d2=•×d2,=1+k2≥1,当且仅当k=0时取等号,当k=0时,△ABM与△CDM的面积之积的最小值1821.已知函数f(x)=lnx﹣x.(1)证明:对任意的x1,x2∈(0,+∞),都有
3、f(x1)
4、>;(2)设m>n>0,比较与的大小,并说明理由8(
5、1)证明:因为f′(x)=,故f(x)在(0,1)上是增加的,在(1,+∞)上是减少的,f(x)max=f(1)=ln1﹣1=﹣1,
6、f(x)
7、min=1,设G(x)=,则G′(x)=,故G(x)在(0,e)上是增加的,在(e,+∞)上是减少的,故G(x)max=G(e)=<1,G(x)max<
8、f(x)
9、min,所以
10、f(x1)
11、>对任意的x1,x2∈(0,+∞)恒成立;(2)解:==•,且=×,∵m>n>0,∴﹣1>0,故只需比较ln与的大小,令t=(t>1),设G(t)=lnt﹣=lnt﹣,8则G′(t)=﹣=,因为t>1,所以G′(
12、t)>0,所以函数G(t)在(1,+∞)上是增加的,故G(t)>G(1)=0,所以G(t)>0对任意t>1恒成立,即ln>,从而有>.819.(13分)设椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1和F2,离心率e=,点F2到右准线l的距离为.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)设M、N是右准线l上两动点,满足=0.当
13、MN
14、取最小值时,求证:M,N两点关于x轴对称.解:(1)因为,F2到l的距离,所以由题设得,解得,.由.(Ⅱ)证明:由,a=2得.8则l的方程为.故可设.=(2+,y1),=(2﹣,y2),由=0知,3×+y1y2=0,得y1y2=
15、﹣6,所以y1y2≠0,,
16、
17、=
18、y1﹣y2
19、=
20、y1+
21、=
22、y1
23、+,当且仅当时,上式取等号,此时y1=﹣y2.即M,N两点关于x轴对称.20.(14分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象经过原点,且在x=1处取得极大值.(Ⅰ)求实数a的取值范围;(Ⅱ)若方程f(x)=﹣恰好有两个不同的根,求f(x)的解析式;(Ⅲ)对于(2)中的函数f(x),若对于任意实数α和β恒有不等式
24、f(2sinα)﹣f(2sinβ)
25、≤m成立,求m的最小值.8解:(Ⅰ)f(0)=0⇒c=0,f'(x)=3x2+2ax+b,f'(1)=0⇒b=﹣2a﹣
26、3,…2分∴f'(x)=3x2+2ax﹣(2a+3)=(x﹣1)(3x+2a+3),由f'(x)=0⇒x=1或因为当x=1时取得极大值,所以,所以a的取值范围是:(﹣∞,﹣3);…4分(Ⅱ)由下表:xx<1x=1f'(x)+0﹣0﹣f(x)递增极大值﹣a﹣2递减极小值递增…7分画出f(x)的简图:依题意得:,解得:a=﹣9,所以函数f(x)的解析式是:f(x)=x3﹣9x2+15x;…9分(Ⅲ)对任意的实数α,β都有﹣2≤2sinα≤2,﹣2≤2sinβ≤2,依题意有:函数f(x)在区间上的最大值与最小值的差不大于m,…10分在区间上有:f
27、(﹣2)=﹣8﹣36﹣30=﹣74f(1)=7,f(2)=8﹣36+30=2f(x)的最大值是f(1)=7,8f(x)的最小值是f(﹣2)=﹣8﹣36﹣30=﹣74,…13分所以m≥81即m的最小值是81.…14分.20.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆C':=1的一个焦点重合,点A(x0,2)在抛物线上,过焦点F的直线l交抛物线于M、N两点.(1)求抛物线C的方程以及
28、AF
29、的值;(2)记抛物线C的准线与x轴交于点B,若,
30、BM
31、2+
32、BN
33、2=40,求实数λ的值.解:(1)依题意,椭圆中,a2=6,b2=5,故c2=a
34、2﹣b2=1,故,则2p=4,可得抛物线C的方程为y2=4x.将A(x0,2)代入y2=4x,解得x0=1,故.(2)依题意,F(1,0),设l:x=my+1,设M(x1,y1)
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