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1、复数知识点考试内容：复数的概念．复数的加法和减法．复数的乘法和除法．数系的扩充．考试要求：（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．1.⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即i21.⑵复数及其相关概念：①复数—形如a+bi的数（其中a，bR）；②实数—当b=0时的复数a+bi，即a；③虚数—当b0时的复数a+bi；④纯虚数—当a=0且b0时的复数a+bi，即bi.⑤复数a+i的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫
2、做虚部（注意，b都是实数）ba⑥复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.⑶两个复数相等的定义：abicdiac且bd（其中，a，b，c，d，R）特别地abi0ab0.⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若z1,z2为复数，则1若z1z20，则z1z2.（×）[z1,z2为复数，而不是实数]2若z1z2，则z1z20.（√）②若a,b,cC，则(ab)2(bc)2(ca)20是abc的必要不充分条件.（当(ab)2i2，(bc)21,(ca)20时，上式成立）2.⑴复平面内的两点间距离公式：dz1z2.其中z1，z2是复平面内的两点z1
3、和z2所对应的复数，d表示z1和z2间的距离.由上可得：复平面内以z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：zz0r（r0）.⑵曲线方程的复数形式：①zz0r表示以z0为圆心，r为半径的圆的方程.②zz1zz2表示线段z1z2的垂直平分线的方程.③zz1zz22a（a0且2az1z2）表示以Z1，Z2为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若2az1z2，此方程表示线段Z1，Z2）.④zz1zz22a（02az1z2），表示以Z1，Z2为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若2az1z2，此方程表示两条射线）.⑶绝对值不等式：设z1，z2是不等于零的复数，则①z1z2
4、z1z2z1z2.左边取等号的条件是z2z1（R，且0），右边取等号的条件是z2z1（，0）R.②z1z2z1z2z1z2.左边取等号的条件是z2z1（R，0），右边取等号的条件是z2z1（R，0）.注：A1A2A2A3A3A4An1AnA1An.3.共轭复数的性质：zzz1z2z1z2zz2a，zz2bi（za+bi）zz
5、z
6、2
7、z
8、2z1z2z1z2z1z2z1z2z1z1（z20）zn(z)nz2z2注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]4⑴①复数的乘方：znzzz...z(nN)n②对任何z，z1,z2C及
9、m,nN有③zmznzmn,(zm)nzmn,(zz)nznzn1212注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如i21,i41若由11i2(i4)2121就会得到11的错误结论.②在实数集成立的
10、x
11、x2.当x为虚数时，
12、x
13、x2，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：i21,i4n1i,i4n21,i4n3i,i4n1inin1in2in30,(nZ)(1i)22i,1ii,1ii1i1i若是1的立方虚数根，即13i，31,2,1,120,nn1n20(nZ)22则.5.⑴复数z是实数及纯虚数的充要条件：①zR
14、zz.②若z0，z是纯虚数zz0.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数.特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：
15、z
16、
17、z
18、.6.⑴复数的三角形式：zr(cosisin).辐角主值：适合于0≤＜2的值，记作argz.注：①z为零时，argz可取[0,2)内任意值.②辐角是多值的，都相差2的整数倍.③设aR,则arga0,arg(a),argai,arg(ai)3.22⑵复数的代数形式与三角形式的互化：abir(cosisin)，ra2b2，cosa,sinb.rr⑶几类三角式的标准形式：r(cosis
19、in)r[cos()isin()]r(cosisin)r[cos()isin()]r(cosisin)r[cos()isin()]r(sinicos)r[cos()isin()]227.复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x的一元二次方程ax2bxc0(a0)时，应注意下述问题：①当a,b,cR时，若＞0，则有二不等实数根x1,2b；若=0，则有二相等实数根2ax1,2b；若＜0，则有二相等复数根x1,2b
20、
21、i（x1,2为共轭复数）.2a2a②当a,b,c不全为实数时，不能用方程根的情况.③不论a,b,c为何复数，都可用
22、求根公式求根，并且韦达定理也成立.8.复数的三角形式运算：r1(cos1isin2)r2(co
