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1、《复数》知识点总结 《复数》知识点总结 1、复数的概念形如(,)abiabR??的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,满足21i??,a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部. (1)纯虚数对于复数zabi??,当00ab??且时,叫做纯虚数. (2)两个复数相等,()abicdiabcdR???、、、相等的充要条件是=acbd?且. (3)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,横轴为实轴,竖轴除去原点为虚轴. (4)复数的模复数zabi??可以用复平面内的点Z(,)ab表示,向量OZ的模叫做复数zabi??的模,
2、表示为22
3、
4、
5、
6、zabiab???? (5)共轭复数两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做共轭复数. 2、复数的四则运算 (1)加减运算()()()()abicdiacbdi???????; (2)乘法运算()()()()abicdiacbdadbci???????; (3)除法运算2222()()()() (0)acbdbcadabicdiicdicdcd???????????; (4)i的幂运算41ni?,41nii??,421ni???,43nii???.()nZ? (5)22
7、
8、
9、
10、zz
11、zz?? 3、规律方法总结 (1)对于复数(,)zabiabR???必须强调,ab均为实数,方可得出实部为a,虚部为b (2)复数(,)zabiabR???是由它们的实部和虚部唯一确定的,两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数(,)zabiabR???,既要从整体的角度去认识它,把复数看成一个整体,又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识 (3)对于两个复数,若不全是实数,则不能比较大小,在复数集里一般没有大小之分,但却有相等与不等之分. (4)数系扩充后,数的概念由实数集扩充到复数
12、集,实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了,如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等 1、基本概念计算类例1.若,43,221iziaz????且21zz为纯虚数,则实数a的值为_________解因为,21zz=25)46 (83258463)43)(43()43)(2(432iaaiaiaiiiiaiia???????????????,又21zz为纯虚数,所以,3a-8=0,且6+4a?0。 38??a 2、复数方程问题例2.证明在复数范围内,方程iiziz?????255)1(
13、
14、2(i为虚数单位)无
15、解证明原方程化简为,31)1()1(
16、
17、iziziz??????设z=x+yi(x、yR?),代入上述方程得????????????3221.31222222yxyxiyixiyx得051282???xx?????.016?方程无实数解,所以原方程在复数范围内无解。 3、综合类例3.设z是虚数,zz1???是实数,且-1 (1)求
18、z
19、的值及z的实部的取值范围; (2)设zzM???11,求证M为纯虚数; (3)求2M??的最小值。 解 (1)设z=a+bi(a,b0,??bR),)()(12222ibabbbaa
20、abiabia???????????因为,?是实数,0?b所以,122??ba,即
21、z
22、=1,因为?=2a,-1 (2)zzM???11=1)1 (21)1)(1()1)(1(112222??????????????????????abibabibabiabiabiabiabiabia(这里利用了 (1)中122??ba)。 因为a?(-1,21),0?b,所以M为纯虚数 (3)2M??112)1 (12)1(22222???????????aaaaaaaba3]11)1[(21212?????????aaaa因为
23、,a?(-1,21),所以,a+1>0,所以2M???2×2-3=1,当a+1=11?a,即a=0时上式取等号,所以,2M??的最小值是1。 4、创新类例4.对于任意两个复数Ryyxxiyxziyxz?????2121222111,,,(,)定义运算“⊙”为1z⊙2z=2121yyxx?,设非零复数21,??在复平面内对应的点分别为21,PP,点O为坐标原点,若1?⊙2?=0,则在21OPP?中,21OPP?的大小为_________.解法一(解析法)设)0,(,21222111?????aaibaiba??,故得点),(1
24、11baP,),(222baP,且2121bbaa?=0,即12211???abab从而有2121OPOPkk?=12211???abab故21OPOP?,也即02190??OPP解法二(用复数的模)同法一的假设,知21212121
25、
26、
27、
28、baOP????22222222
29、
30、