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1、《复数》知识点总结 《复数》知识点总结 1、复数的概念形如(,)abiabR??的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足21i??，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部. (1)纯虚数对于复数zabi??，当00ab??且时，叫做纯虚数. (2)两个复数相等,()abicdiabcdR???、、、相等的充要条件是=acbd?且. (3)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，横轴为实轴，竖轴除去原点为虚轴. (4)复数的模复数zabi??可以用复平面内的点Z(,)ab表示，向量OZ的模叫做复数zabi??的模，
2、表示为22
3、
4、
5、
6、zabiab???? （5）共轭复数两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数. 2、复数的四则运算 （1）加减运算()()()()abicdiacbdi???????； （2）乘法运算()()()()abicdiacbdadbci???????； （3）除法运算2222()()()() (0)acbdbcadabicdiicdicdcd???????????； （4）i的幂运算41ni?，41nii??，421ni???，43nii???.()nZ? （5）22
7、
8、
9、
10、zz
11、zz?? 3、规律方法总结 （1）对于复数(,)zabiabR???必须强调,ab均为实数，方可得出实部为a，虚部为b （2）复数(,)zabiabR???是由它们的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法．对于一个复数(,)zabiabR???，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识 （3）对于两个复数，若不全是实数，则不能比较大小，在复数集里一般没有大小之分，但却有相等与不等之分. （4）数系扩充后，数的概念由实数集扩充到复数
12、集，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等 1、基本概念计算类例1．若,43,221iziaz????且21zz为纯虚数，则实数a的值为_________解因为，21zz＝25)46 (83258463)43)(43()43)(2(432iaaiaiaiiiiaiia???????????????，又21zz为纯虚数，所以，3a－8＝0，且6＋4a?0。 38??a 2、复数方程问题例2．证明在复数范围内，方程iiziz?????255)1(
13、
14、2（i为虚数单位）无
15、解证明原方程化简为,31)1()1(
16、
17、iziziz??????设z＝x＋yi(x、yR?)，代入上述方程得????????????3221.31222222yxyxiyixiyx得051282???xx?????.016?方程无实数解，所以原方程在复数范围内无解。 3、综合类例3．设z是虚数，zz1???是实数，且－1 （1）求
18、z
19、的值及z的实部的取值范围； （2）设zzM???11，求证M为纯虚数； （3）求2M??的最小值。 解 （1）设z＝a＋bi（a，b0,??bR）,)()(12222ibabbbaa
20、abiabia???????????因为，?是实数，0?b所以，122??ba，即
21、z
22、＝1，因为?＝2a，－1 （2）zzM???11＝1)1 (21)1)(1()1)(1(112222??????????????????????abibabibabiabiabiabiabiabia（这里利用了 （1）中122??ba）。 因为a?（－1,21），0?b，所以M为纯虚数 （3）2M??112)1 (12)1(22222???????????aaaaaaaba3]11)1[(21212?????????aaaa因为
23、，a?（－1,21），所以，a＋1>0，所以2M???2×2－3＝1，当a＋1＝11?a，即a＝0时上式取等号，所以，2M??的最小值是1。 4、创新类例4．对于任意两个复数Ryyxxiyxziyxz?????2121222111,,,(,)定义运算“⊙”为1z⊙2z＝2121yyxx?，设非零复数21,??在复平面内对应的点分别为21,PP,点O为坐标原点，若1?⊙2?＝0，则在21OPP?中，21OPP?的大小为_________.解法一（解析法）设)0,(,21222111?????aaibaiba??，故得点),(1
24、11baP，),(222baP，且2121bbaa?＝0，即12211???abab从而有2121OPOPkk?＝12211???abab故21OPOP?,也即02190??OPP解法二（用复数的模）同法一的假设，知21212121
25、
26、
27、
28、baOP????22222222
29、
30、
