复数知识点精心总结.doc

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1、复数知识点考试内容:  复数的概念.  复数的加法和减法.  复数的乘法和除法.  数系的扩充.考试要求:(1)了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义.(2)掌握复数代数形式的运算法则,能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算.(3)了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想.1.⑴复数的单位为i,它的平方等于-1,即.⑵复数及其相关概念:①复数—形如a+bi的数(其中);②实数—当b=0时的复数a+bi,即a;③虚数—当时的复数a+bi;④纯虚数—当a=0且时的复数a+bi,即bi.⑤复数a+bi的实部与虚部—a叫做复数的实部,b叫做虚部(注意a,b都

2、是实数)⑥复数集C—全体复数的集合,一般用字母C表示.⑶两个复数相等的定义:.⑷两个复数,如果不全是实数,就不能比较大小.注:①若为复数,则若,则.(×)[为复数,而不是实数]若,则.(√)②若,则是的必要不充分条件.(当,时,上式成立)2.⑴复平面内的两点间距离公式:.其中是复平面内的两点所对应的复数,间的距离.由上可得:复平面内以为圆心,为半径的圆的复数方程:.⑵曲线方程的复数形式:①为圆心,r为半径的圆的方程.②表示线段的垂直平分线的方程.③为焦点,长半轴长为a的椭圆的方程(若,此方程表示线段).④表示以为焦点,实半轴长为a的双曲线方程(若,此方程表示两条射线)

3、.⑶绝对值不等式:设是不等于零的复数,则①.左边取等号的条件是,右边取等号的条件是.②.左边取等号的条件是,右边取等号的条件是.注:.3.共轭复数的性质:,(a+bi)()注:两个共轭复数之差是纯虚数.(×)[之差可能为零,此时两个复数是相等的]4⑴①复数的乘方:②对任何,及有③注:①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式,否则会得到荒谬的结果,如若由就会得到的错误结论.②在实数集成立的.当为虚数时,,所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论:若是1的立方虚数根,即,则.5.⑴复数是实数及纯虚数的充要条件:①.②若,是纯虚数.⑵模相等且方向相同的向量,不管它的起

4、点在哪里,都认为是相等的,而相等的向量表示同一复数.特例:零向量的方向是任意的,其模为零.注:.6.⑴复数的三角形式:.辐角主值:适合于0≤<的值,记作.注:①为零时,可取内任意值.②辐角是多值的,都相差2的整数倍.③设则.⑵复数的代数形式与三角形式的互化:,,.⑶几类三角式的标准形式:7.复数集中解一元二次方程:在复数集内解关于的一元二次方程时,应注意下述问题:①当时,若>0,则有二不等实数根;若=0,则有二相等实数根;若<0,则有二相等复数根(为共轭复数).②当不全为实数时,不能用方程根的情况.③不论为何复数,都可用求根公式求根,并且韦达定理也成立.8.复数的三角

5、形式运算:棣莫弗定理:

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