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1、复数知识点考试内容：复数的概念．复数的加法和减法．复数的乘法和除法．数系的扩充．考试要求：（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．21.⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即i1.⑵复数及其相关概念：①复数—形如a+bi的数（其中a，bR）；②实数—当b=0时的复数a+bi，即a；③虚数—当b0时的复数a+bi；④纯虚数—当a=0且b0时的复数a+bi，即bi.⑤复数a+bi
2、的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）⑥复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.⑶两个复数相等的定义：abicdiac且bd（其中，a，b，c，d，R）特别地abi0ab0.⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若z1,z2为复数，则1若z1z20，则z1z2.（×）[z1,z2为复数，而不是实数]2若z1z2，则z1z20.（√）222②若a,b,cC，则(ab)(bc)(ca)0是abc的必要不充分条件.（当22(ab)i，22(bc)1,(ca)0时，上式成立）2.⑴复平
3、面内的两点间距离公式：dz1z2.其中z1，z2是复平面内的两点z1和z2所对应的复数，d表示z1和z2间的距离.由上可得：复平面内以z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：zz0r（r0）.⑵曲线方程的复数形式：①zz0r表示以z0为圆心，r为半径的圆的方程.②zz1zz2表示线段z1z2的垂直平分线的方程.③zz1zz22a（a0且2az1z2）表示以Z1，Z2为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若2az1z2，此方程表示线段Z1，Z2）.④zz1zz22a（02az1z2），表示以Z1，Z2为焦点，实半轴长为a的双曲线
4、方程（若2az1z2，此方程表示两条射线）.⑶绝对值不等式：设z1，z2是不等于零的复数，则①z1z2z1z2z1z2.左边取等号的条件是z2z1（R，且0），右边取等号的条件是z2z1（R，0）.②z1z2z1z2z1z2.左边取等号的条件是z2z1（R，0），右边取等号的条件是z2z1（R，0）.注：A1A2A2A3A3A4An1AnA1An.3.共轭复数的性质：zzz1z2z1z222zz2a，zz2bi（za+bi）zz
5、z
6、
7、z
8、z1z2z1z2z1z2z1z2z1z1nn（z20）z(z)z2z2注：两个共
9、轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]n4⑴①复数的乘方：zzzz...z(nN)n②对任何z，z1,z2C及m,nN有mnmnmnmnnnn③zzz,(z)z,(z1z2)z1z224注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如i1,i1若由112422i(i)11就会得到11的错误结论.22②在实数集成立的
10、x
11、x.当x为虚数时，
12、x
13、x，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：24n14n24n34ni1,ii,i1,ii,i1nn1n2n3iiii0,
14、(nZ)21i1i(1i)2i,i,i1i1i13若是1的立方虚数根，即i，223212nn1n2则.1,,,10,0(nZ)5.⑴复数z是实数及纯虚数的充要条件：①zRzz.②若z0，z是纯虚数zz0.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数.特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：
15、z
16、
17、z
18、.6.⑴复数的三角形式：zr(cosisin).辐角主值：适合于0≤＜2的值，记作argz.注：①z为零时，argz可取[0,2)内任意值.②辐角是多值的，都相差2的整数倍.3③
19、设aR,则arga0,arg(a),argai,arg(ai).22⑵复数的代数形式与三角形式的互化：22ababir(cosisin)，rab，cos,sin.rr⑶几类三角式的标准形式：r(cosisin)r[cos()isin()]r(cosisin)r[cos()isin()]r(cosisin)r[cos()isin()]r(sinicos)r[cos()isin()]227.复数集中解一元二次方程：2在复数集内解关于x的一元二次方程axbxc0(a0)时，应注意下述问题：b①当a,b,cR时，若＞0，则有二
20、不等实数根x1,2；若=0，则有二相等实数根2abb
21、
22、ix1,2；若＜0，则有二相等复数根x1,2（x1,2为共轭复数）.2a2a②当a,b,c不全为实数时，不能用方程根的情况.③不论a,b,c为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.8.复数的三角形式运算：r(cosisin)r(cosisin)rr[cos()isi
