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《特级教师高考数学首轮复习第15讲-函数与方程.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、知识结构二、重点叙述1.函数零点的概念①函数零点的定义:一般地,对于函数,我们把使的实数叫做函数的零点。②函数零点的理解:Ⅰ、内涵:⑴从“数”看,函数零点是使的实数;⑵从“形”看,函数零点是函数的图象与轴交点的横坐标;Ⅱ、外延:⑴若函数的图象在处与轴相切,则零点常称为不变号零点;⑵若函数的图象在处与轴相交,则零点常称为变号零点;2.函数零点与方程根的关系:①等价关系:方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点。②模型特点:Ⅰ、方程:方程函数的函数值为0。∴方程有实根函数的函数值时的自变量的值存在函数有零点函数的图象与轴的交点的
2、横坐标存在。 如图,方程的实根就是函数的零点。Ⅱ、方程:方程函数的函数值为。∴方程的实根函数的函数值时的自变量的值函数的图象与直线交点的横坐标。如图,方程的实根不是函数的零点,而是函数的图象与直线交点的横坐标。Ⅲ、方程:方程方程函数的函数值为0。∴方程的实根方程的实根函数的函数值时的自变量的值函数有零点函数的图象与轴交点的横坐标。如图,方程的实根就是函数的零点,也是函数的图象与轴交点的横坐标。Ⅵ、方程:方程函数与函数的函数值相等。∴方程的实根函数与函数的函数值相等时的自变量的值函数的图象与函数图象交点的横坐标。如图,方程的实根不是函数的零点,也不是函数的零点,
3、而是函数的图象与函数的图象的交点的横坐标。Ⅴ、方程:方程方程函数的函数值为0。∴方程的根方程的根函数的函数值为0时的自变量的值函数的图象与轴交点的横坐标。如图,方程的实根就是函数的零点,也是函数的图象与轴交点的横坐标。 3.函数零点的存在性定理①函数零点的存在性定理:如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间有零点,即存在使得,这个也就是方程的根。②定理是充分非必要条件:函数零点的存在性定理仅仅指出了函数零点存在的充分条件,也就是说,若,则函数在区间有零点;但函数在区间有零点,不一定有,可能是不变号零点。 4.二次函数图象与函数零点，二次方程
4、根的区间分布①二次函数图象与函数零点分类 二次方程有两个不同的实数根 二次方程有两个相同的实数根 二次方程没有实数根②二次方程根的区间分布 5.用二分法求函数零点①二分法:对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫二分法。②用二分法求函数零点近似值的步骤:Ⅰ、确定区间,验证,给定精度;Ⅱ、求区间的中点;Ⅲ、计算:⑴若,则就是函数的零点;⑵若,则令〔此时零点〕;⑶若,则令〔此时零点〕。Ⅳ、判断是否达到精度;即若,则得
5、到零点值(或);否则重复步骤②~④。用二分法来求方程的近似解计算量较大,而且是重复相同的步骤,因此,我们可以通过设计一定的计算程序,借助计算器或计算机完成计算。6.应用揭示函数与方程的思想,注意函数与方程之间的转化。Ⅰ、求函数零点方法(代数法(即方程的根),图象法,二分法)的应用;Ⅱ、利用函数零点的存在性求参数值的范围;Ⅲ、研究方程根的区间分布问题。三、案例分析案例1：（1）求函数的零点；（2）判断方程根的个数及符号。【答案】(1)x=1,或x=2;(2)图象法,2个根,1个根是负号,1个根是0。分析：（1）用解方程方法求函数零点。（2）用叠加法画函数图象，利用图象
6、进行判断。解；（1）令，即，解得，或。所以函数的零点是，或。（2）用叠加法画函数的图象。如图，可得方程有两个根，1个根是负号，1个根是0。案例2：若方程在(0，2)内有解，求实数a的取值范围.【答案】,或。分析：“方程在(0，2)内有解”就是“函数”在(0，2)内有零点。应用数形结合的方法可以比较直观地制约二次函数的变化特点，促进问题的解决。解：令， 如图， 当方程在(0，2)内恰有一个解时，则或或或解得或或。(2)当方程在(0，2)内有两个解时，则解得。综合(1)(2)，知，或。案例3：（2009江西·文17第2小题）设函数。若方程有且仅有一个
7、实根，求的取值范围。【答案】或。分析：方程有且仅有一个实根，也就是函数有且仅有一个零点。对于高次函数，可用导数法研究函数图象相对于x轴的位置。解：令，解得x=1，或x=2。1+0-0+↗极大值↘极小值↗因为当时,;当时,;当时,。 所以当时,取极大值; 当时,取极小值; 如图，当或时,方程仅有一个实根.解得或。案例4：（2009福建·文20第3小题）已知函数若，且（I）求函数的解析式； （Ⅱ）设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点。【答案】(I);(Ⅱ)有异于的公共点。分析：第（I）小题用待定系数法确定a，b，易
