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《特级教师高考数学首轮复习第14讲-函数值域与最值.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、来源：591UP一、知识结构二、重点叙述1.函数值域①函数值域的定义:函数y=f(x), x∈A表示f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,其中集合A叫做函数的定义域,函数值的集合{f(x)
2、x∈A}叫做函数的值域,于是CB。函数值域由函数的定义域和对应法则而确定。②确定函数值域的原则Ⅰ、当函数y=f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y的集合;Ⅱ、当函数y=f(x)用图象给出时,函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合;Ⅲ、当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义
3、域及其对应法则唯一确定的集合;Ⅳ、当函数y=f(x)由实际问题给出时,函数的值域还得由问题的实际意义确定。③掌握常见函数的值域常见函数有一次、二次函数,反比例函数,指数、对数函数,幂函数、正、余弦函数以及特殊的函数,如函数y=等,熟练掌握它们的值域,有利于应用解题。④求函数值域的常用方法;一般地,求函数值域的常用方法有配方法、图象法、判别式法、换元法、单调法、基本不等式法、反解法、导数法、利用已知函数的值域等方法。2.函数最值①最值定义:函数y=f(y),定义域为A,若存在y0∈A,使得对任意的x∈A,
4、恒有成立,则称为函数的最小(大)值。 ②最值与值域的关系函数一定有值域,但不一定有极值或最值,函数值域在一定条件下可以存在最值;函数有最值,其最值一定是函数值域区间的端点值。Ⅰ、如果函数值域是连续(即不间断)的闭区间,那么闭区间端点的值就是函数最大值与最小值。Ⅱ、如果函数值域是连续(即不间断)的半闭半开区间,那么半闭区间端点的值就是函数最大值或最小值。Ⅲ、如果函数值域是连续(即不间断)的开区间,那么这函数就没有最大值与最小值。Ⅳ、如果函数存在最大值或最小值,那么这个最大值或最小值就是函数值域区间的
5、上端点值或下端点值。③求函数最值的常规方法:求函数最值的常用方法有配方法,二次方程Δ法,图象法,单调法,换元法,基本不等式法,导数法等。3.求函数值域与最值的方法介绍由于值域与最值的特殊关系,因此求函数值域与求函数最值的方法比较一致,都有观察法,配方法,二次方程Δ法,图象法,单调法,换元法,基本不等式法,构造法,导数法等,最值问题更具综合性和灵活性。无论用什么方法求函数的值域,都必须考虑函数的定义域。求解含参数的综合性问题时,常将函数式转化为方程来研究讨论。①配方法:用于二次函数,或可通过换元法转化为二
6、次函数的最值问题。设函数y=f(x),通过配方变换为y=f(x)=A[g(x)]2+M,则A>0时,y≥M;A<0时,y≤M。如函数y=ax2+bx+c,用配方法求最值。,当a>0时,;当a<0时,。②二次方程Δ法:运用方程思想,依据二次方程有实根,由判别式非负求出y的最值,但必须检验这个最值在定义域内是否存在相应的x的值。求函数f(x)=(a12+a22≠0)的值域多用判别式法。函数y=f(x)变换为x为元的二次方程f(x)-y=0,由于存在x∈R,则有判别式Δ≥0,从而求函数y的最值。如函数,可化为
7、,由,求得y的最值。注意检验,y取最值时,是否有意义,否则最值不存在。③分离常量、变量法:函数是分式解析式,用“抽整”的办法,分离出常量或变量的方法。如,函数,转化为,称之为分离常量法;函数,转化为,称之为分离变量法。④图象法:当一个函数图象可作时,通过图象可得其最值,而且显得直观、简洁。图象法就是利用函数图象直观地发现函数最值的方法。方法的关键是熟悉基本、常见函数的图象,或熟练地利用画图象的方法画出函数图象。如图观察,可得。⑤单调法:利用函数的单调性求最值。若函数y=f(x)在定义域[a,b]上递增,
8、则函数的最大值为f(b),最小值为f(a);若函数y=f(x)在定义域[a,b]上递减,则函数的最大值为f(a),最小值为f(b)。 ⑥换元法:通过变量代换,促进简化或转化,化难为易,化未知为已知。换元法有代数换元和三角换元,换元后须注意新变量的取值范围。在函数中,常把某个式子看成新的未知数或元,实行变量替换的方法,达到化繁为简,化难为易,促使未知向已知转化的目的。在换元的过程中,要注意新元的变化范围。如求无理函数的值域,多用换元法。又如,求函数的最值。令,,则,,把求函数的最值转化为求二次函数在闭区
9、间[-1,1]上的最值。⑦基本不等式法:利用基本不等式求最值,注意“一正、二定、三等”,一个都不能少。(修改)Ⅰ、基本不等式模型:一般地,如果a>0,b>0,则,或,当且仅当a=b时等号成立。我们常把叫做正数a、b的算术平均数,把ab叫做正数a、b的几何平均数,即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当且仅当两个正数相等时等号成立。Ⅱ、应用特点:“和定值,积最大;积定值,和最小”,当且仅当等号成立时取得最大值或最小值。Ⅲ、操作程序:“
