高考复习-函数的值域与最值

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1、第二节　函数的值域与最值最新考纲1.理解函数值域的概念．2．掌握求函数值域及最值的常见方法.高考热点以考查函数的值域和最值为主，同时对数学思想方法的应用进行考查.1.求函数值域的常用方法求函数的值域没有通性解法，只能依据函数解析式的结构特征来确定相应的解法．常用的方法有：(1)配方法：配方法是“类”求值域的基本方法，形如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数的值域问题，均可使用配方法．(2)利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的，得到原函数的．形如y＝(a≠0)的函数的值域，均可使用反函数法．此外，这种类型的函数值域

2、也可使用“分离常数法”求解．二次函数定义域值域(3)判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x，y)＝0，通过方程有实根，判别式，从而求得原函数的值域．形如y＝(a1，a2不同时为零)的函数的值域常用此法求解．(4)换元法：运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．形如y＝ax＋b±(a、b、c、d均为常数，且a≠0)的函数值域常用此法求解．Δ≥0(5)不等式法：利用基本不等式：(a，b∈R＋)求函数的值域．用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件“”．(6)单调性：确定函数在定义域(或某个定义域的

3、子集上)的求出函数的值域．形如y＝的函数的值域均可使用此法求解．(7)数形结合法：利用函数所表示的意义，借助于几何方法求出函数的值域．一正、二定、三相等单调性几何2．求函数的最值与值域的区别和联系求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异．最小(大)(1)函数的值域取决于函数的定义域和对应法则，不论是何类型的函数值域问题都应首先考虑函数的定义域(即“定义域优先”的原则)．(2)求函数

4、的值域是中学数学较为重要的题型之一．解决它没有固定的模式，也难以形成思维的定势，因此应善于思考，多归纳积累，丰富自己的解题经验，特别需要掌握常见题型的求函数值域的方法，掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数的值域是解题的关键所在．(3)利用函数单调性的定义或借助求导数的方法研究函数的单调性，进一步求函数的值域应予以重视．(4)函数值域与最值涉及的知识点多，内容广泛，是具有较强综合性和应用性的章节，要注意体会数学思想、数学方法在本节中的应用.题型一求函数的值域思维提示配方法、分离常数法、判别式法、换元法、不等式法、单调性等[规律总结

5、](1)用判别式法求函数值域时，要注意二次项前面的系数不为零时，才有判别式Δ≥0，如果系数为零，应单独讨论．(2)多元变量的式子和最值问题往往转化为一元函数的最值求解．本题在转化为一元函数的区间上求最值问题后，要注意先确定其对称轴与定义区间的关系，再确定在定义区间上函数的单调性，从而求最值.解：(1)y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，又0≤x≤3，依据此函数的图象，可以得到所求函数的值域为[－1，7]．题型二函数的最值问题思维提示①利用函数最值的定义②利用导数法[规律总结](1)二次函数区间最值主要有三种类型：轴定区间定，轴定区间动和轴

6、动区间定．一般来说，讨论二次函数在闭区间上的最值，主要是看区间落在二次函数的哪一个单调区间上，从而应用单调性求最值．(2)利用导数解决最值问题，常收到事半功倍的效果，也是近几年最重要的题型，方法易想，应重视.备选例题2函数f(x)＝x2＋ax＋3，(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的范围；(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的范围．题型三函数值域(最值)的逆向问题．思维提示①值域的求法②转化思想[解]由u＝，得(u－m)x2－8x＋(u－n)＝0.∵x∈R，且设u－m≠0，∴Δ＝(－8)2＋4(u－m)(u－n)≥0，即

7、u2－(m＋n)u＋(mn－16)≤0[规律总结]本题的解法再次体现了等价转化的数学思想，两次转化最终转化为一元二次方程与一元二次不等式的关系，实现了化难为易.备选例题3若函数f(x)＝的最大值为4，最小值为－1，求实数a、b的值．一、化归与转化思想应用错误例1求函数的值域．