函数的值域与最值

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1、高中数学复习讲义函数的值域与最值【基本概念】求函数最值的基本方法：1、配方法（二次函数）2、分离常数法（分式函数）3、反函数法（分式函数）4、基本函数性质法5、换元法[换元必换限]（无理函数、高次函数等）6、基本不等式法（耐克函数）7、单调性法（单调区间上的值域与最值）8、数形结合法【典型例题】例1：求下列函数的值域。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。解：（1）[解一]分离常数法：[解二]反函数法：（2）基本函数性质法：又（3）换元法：令，则（4）基本不等式法：令，则当时，，当且仅当即时取等号-9-高中数学复习讲义当时，

2、，当且仅当即时取等号∴（5）单调性法：在上单调增且在上单调增在上单调增（6）数形结合法：设、，则设即例2：函数在区间上的值有正有负，求实数a的取值范围。解：令①若显然不符题意②若∴综上所述，例3：已知函数，为在上的最小值，求函数的最大值并画出的图象。解：①即时，在上递增②即时，图5-1③即时，在上递减∴综上所述，图象如图5-1所示，由图象可知例4：根据下列条件，求实数a的值。（1）函数在区间上有最大值2；-9-高中数学复习讲义（2）函数在区间上有最大值7；（3）函数在区间上有最大值3。解：（1）①若则符合题意②若则均不符题意（舍）③若

3、则符合题意∴综上所述，或（2）①若则不符题意（舍）②若则符合题意③若则符合题意∴综上所述，或（3）①若此时对称轴符合题意②若此时对称轴符合题意③若此时对称轴不符题意∴综上所述，或例5：已知函数在区间上的值域为，求实数a、b的值。解：①区间在直线左侧时，在上递减-9-高中数学复习讲义则（舍）②区间在直线右侧时，在上递增则（舍）③直线落在区间内∴综上所述，、例6：对于函数若同时满足以下条件：①在D上单调递增或单调递减；②存在区间，使在上的值域是，则称函数为“闭函数”。（1）求“闭函数”符合条件②的区间；（2）函数是不是“闭函数”？若是，请

4、求出区间；若不是，请说明理由；（3）若函数是“闭函数”，求实数k的取值范围。解：（1）在D上单调递减，则即区间为（2）不是单调函数，故不是“闭函数”（3）由题意知方程有两个不同的实数解-9-高中数学复习讲义例7：已知a为实数，函数。（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值。解：（1）当时为偶函数当时，不具有奇偶性①当时若，则在上单调递减若，则②当时若，则若，则在上单调递增∴综上所述，【一讲一练】一、填空题（每空格4分，共40分）1、求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。-9-高中数学复习讲义2、函数在时有最大值2，则。

5、3、已知函数在区间上的最大值为3、最小值为2，则实数m的取值范围是。4、若一系列函数的解析式相同、值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数，且值域为的“孪生函数”共有个。5、若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是。6、若函数在上有最小值（a、b为非零常数），则函数在上的最大值为。二、选择题（每小题4分，共16分）7、若函数的值域是，则函数的值域是（）(A)(B)(C)(D)8、设函数，是二次函数，若的值域是，则的值域是（）(A)(B)(C)(D)9、对，记，函数的最小值是（）(A)0(B)(C)(D)310、若函数

6、对于任意t都有，且在区间上有最大值5、最小值1，则实数m的取值范围是（）(A)(B)(C)(D)三、解答题（共44分）11、（本大题有2小题，第1小题4分，第2小题4分，共8分）已知函数。（1）若的定义域为R，求实数m的取值范围；-9-高中数学复习讲义（2）若的值域为R，求实数m的取值范围。12、（本大题有2小题，第1小题5分，第2小题5分，共10分）已知函数，且当时有最小值。（1）求的解析式；（2）求的解集。13、（本大题有2小题，第1小题4分，第2小题8分，共12分）已知函数。（1）解不等式；（2）求在区间上的最大值。14、（本大

7、题有3小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分，共14分）对于定义域为D的函数，如果满足存在区间使得在的值域为，那么函数叫做上的“k级矩形”函数。（1）设函数是上的“1级矩形”函数，求常数a、b的值；（2）是否存在区间使函数在区间上是“k级矩形”函数？若存在，求出常数a、b、k的值，若不存在，请说明理由；（3）设函数是上的“3级矩形”函数，求常数a、b的值。【参考答案】1、（1）（2）（3）（4）（5）2、3、4、95、6、57、A8、C9、C10、B11、解：（1）定义域为R（2）值域为R取遍一切正数①时的值域为R符合题意②时

8、-9-高中数学复习讲义∴12、解：（1）令，则（2）13、解：（1）（2）函数图象如图5-2所示①时，在上递增②时，图5-2③时，在上递增∴综上所述，14、解：（1）∵在上单调递增又在上为“1级矩形”函数a、b是的两个不