函数的值域与最值

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1、高中数学复习讲义函数的值域与最值【基本概念】求函数最值的基本方法:1、配方法(二次函数)2、分离常数法(分式函数)3、反函数法(分式函数)4、基本函数性质法5、换元法[换元必换限](无理函数、高次函数等)6、基本不等式法(耐克函数)7、单调性法(单调区间上的值域与最值)8、数形结合法【典型例题】例1:求下列函数的值域。(1);(2);(3);(4);(5);(6)。解:(1)[解一]分离常数法:[解二]反函数法:(2)基本函数性质法:又(3)换元法:令,则(4)基本不等式法:令,则当时,,当且仅当即时取等号-9-高中数学复习讲义当时,,当且仅

2、当即时取等号∴(5)单调性法:在上单调增且在上单调增在上单调增(6)数形结合法:设、,则设即例2:函数在区间上的值有正有负,求实数a的取值范围。解:令①若显然不符题意②若∴综上所述,例3:已知函数,为在上的最小值,求函数的最大值并画出的图象。解:①即时,在上递增②即时,图5-1③即时,在上递减∴综上所述,图象如图5-1所示,由图象可知例4:根据下列条件,求实数a的值。(1)函数在区间上有最大值2;-9-高中数学复习讲义(2)函数在区间上有最大值7;(3)函数在区间上有最大值3。解:(1)①若则符合题意②若则均不符题意(舍)③若则符合题意∴综上

3、所述,或(2)①若则不符题意(舍)②若则符合题意③若则符合题意∴综上所述,或(3)①若此时对称轴符合题意②若此时对称轴符合题意③若此时对称轴不符题意∴综上所述,或例5:已知函数在区间上的值域为,求实数a、b的值。解:①区间在直线左侧时,在上递减-9-高中数学复习讲义则(舍)②区间在直线右侧时,在上递增则(舍)③直线落在区间内∴综上所述,、例6:对于函数若同时满足以下条件:①在D上单调递增或单调递减;②存在区间,使在上的值域是,则称函数为“闭函数”。(1)求“闭函数”符合条件②的区间;(2)函数是不是“闭函数”?若是,请求出区间;若不是,请说明

4、理由;(3)若函数是“闭函数”,求实数k的取值范围。解:(1)在D上单调递减,则即区间为(2)不是单调函数,故不是“闭函数”(3)由题意知方程有两个不同的实数解-9-高中数学复习讲义例7:已知a为实数,函数。(1)讨论的奇偶性;(2)求的最小值。解:(1)当时为偶函数当时,不具有奇偶性①当时若,则在上单调递减若,则②当时若,则若,则在上单调递增∴综上所述,【一讲一练】一、填空题(每空格4分,共40分)1、求下列函数的值域:(1);(2);(3);(4);(5)。-9-高中数学复习讲义2、函数在时有最大值2,则。3、已知函数在区间上的最大值为3

5、、最小值为2,则实数m的取值范围是。4、若一系列函数的解析式相同、值域相同但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么函数,且值域为的“孪生函数”共有个。5、若函数的定义域为R,则实数m的取值范围是。6、若函数在上有最小值(a、b为非零常数),则函数在上的最大值为。二、选择题(每小题4分,共16分)7、若函数的值域是,则函数的值域是()(A)(B)(C)(D)8、设函数,是二次函数,若的值域是,则的值域是()(A)(B)(C)(D)9、对,记,函数的最小值是()(A)0(B)(C)(D)310、若函数对于任意t都有,且在区间上有最大值5、最

6、小值1,则实数m的取值范围是()(A)(B)(C)(D)三、解答题(共44分)11、(本大题有2小题,第1小题4分,第2小题4分,共8分)已知函数。(1)若的定义域为R,求实数m的取值范围;-9-高中数学复习讲义(2)若的值域为R,求实数m的取值范围。12、(本大题有2小题,第1小题5分,第2小题5分,共10分)已知函数,且当时有最小值。(1)求的解析式;(2)求的解集。13、(本大题有2小题,第1小题4分,第2小题8分,共12分)已知函数。(1)解不等式;(2)求在区间上的最大值。14、(本大题有3小题,第1小题4分,第2小题4分,第3小题

7、6分,共14分)对于定义域为D的函数,如果满足存在区间使得在的值域为,那么函数叫做上的“k级矩形”函数。(1)设函数是上的“1级矩形”函数,求常数a、b的值;(2)是否存在区间使函数在区间上是“k级矩形”函数?若存在,求出常数a、b、k的值,若不存在,请说明理由;(3)设函数是上的“3级矩形”函数,求常数a、b的值。【参考答案】1、(1)(2)(3)(4)(5)2、3、4、95、6、57、A8、C9、C10、B11、解:(1)定义域为R(2)值域为R取遍一切正数①时的值域为R符合题意②时-9-高中数学复习讲义∴12、解:(1)令,则(2)13

8、、解:(1)(2)函数图象如图5-2所示①时,在上递增②时,图5-2③时,在上递增∴综上所述,14、解:(1)∵在上单调递增又在上为“1级矩形”函数a、b是的两个不

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