特级教师高考数学首轮复习第13讲-幂函数.docx

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1、来源：591UP一、知识结构二、重点叙述1.幂函数定义一般地,形如y=xα(x∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数。常见的有:y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3。注意与指数函数区别,指数函数y=ax(a>0,a≠1)的底是常数,指数是自变量;幂函数y=xα(x∈R)的底是自变量,指数是常数,切不可混摇。2.幂函数图象 3.幂函数性质      函数性质y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定义域RRR{x

2、x≥0}{x

3、x≠0}值 域R{y

4、y≥0}R{y

5、y≥0}{y

6、y≠0}奇偶性奇奇奇非奇非偶奇单调

7、性在(0,+∞)单调递增在(0,+∞)单调递增在(0,+∞)单调递增在(0,+∞)单调递增在(0,+∞)单调递减特殊点(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)第Ⅰ象限趋势向右上无限发展向右上无限发展向右上无限发展向右上无限发展向上与y轴无限靠近,向右与x轴无限靠近图象分布第Ⅰ、Ⅲ象限第Ⅰ、Ⅱ象限第Ⅰ、Ⅲ象限第Ⅰ象限第Ⅰ、Ⅲ象限4.应用①幂函数概念②幂函数图象与性质的应用③幂、指、对函数的综合应用三、案例分析案例1：如果函数是幂函数，且在区间上是减函数，求满足条件的实数的集合．答案：{2}分析：按照幂函数的定义，其系数是

8、1，在区间上是减函数，那么它的指数必定为负数。∵函数是幂函数，且在区间上是减函数，当且仅当  即  ∴m=2。所以满足条件的实数的集合是。案例2：比较大小（1）设,,,试比较a，b，c的大小。（2）当0＜x＜1时，，试比较的大小。答案：(1)c>b>a;(2)。分析：(1)把看成幂函数，看成指数函数，利用它们的单调性比较大小；(2)把看成底的指数函数,利用指数函数的单调性比较大小。(1)∵幂函数在是单调递增，又，∴；∵指数函数在上是单调递减，又，∴；综上所述，a，b，c的大小是。(2)∵，∴指数函数在R上是减函数，又，∴。所以的

9、大小是。案例3：已知幂函数y＝x，(p∈Z)，在(0，＋∞)内，y随x增大而增大，且在定义域内图象关于y轴对称,求p值及相应的f(x)．答案：p=1,分析：由幂函数y＝x(p∈Z)在(0，＋∞)内随x增大而增大，且在定义域内图象关于y轴对称，可得，且指数为偶数，从而求得的值和相应的函数。∵幂函数y＝x(p∈Z)在(0，＋∞)内随x增大而增大，且在定义域内图象关于y轴对称，∴由解得，且，∴=0，或1，或2。由验得。所以所求的值是，相应的函数。案例4：已知函数f（x）＝。（1）试判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）求f（

10、x）的单调区间。答案：(1)奇函数;(2)单调增函数区间(-∞,0),(0,+∞)。分析：(1)“奇-奇为奇”可以判断函数是奇函数，进而用奇函数的定义证明；(2)用导数法求函数的单调区间比较简捷。(1)函数的定义域是。函数的主要结构是，判断：“奇-奇”为奇函数。∵对于任意的，有，所以函数是奇函数。(2)，所以函数的单调区间是。案例5：已知函数满足f(2)

11、q；若不存在，说明理由。答案：(1);(2)q=2。分析：(1)函数满足f(2)＜f(3)，也就是幂函数是增函数时的指数必须满足，从而求得的值和相应的函数。(2)是否存在q，使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[-1，2]上的值域为，就是求使函数的最大值为，最小值为时的的值是否存在。这是含参数的二次函数在闭区间上的最值的问题。(1)幂函数满足，当且仅当。∵，∴，相应的解析式为。(2)若存在，则函数。∵，∴不可能小于-1，也不可能大于2，那只能。 1.若，且，则，这时， ，即；，只能，解得，显然不能使，所以不存在。

12、②若，且，则，这时，，即，解得；，只能，解得。所以存在，使得函数在区间上的值域为。