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《特级教师高考数学首轮复习第16讲-函数模型及其应用.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、来源：591UP一、知识结构二、重点叙述1.函数模型及应用的界定：函数模型及应用问题是指有实际意义或实际背景的函数问题,建立相应函数模型,解函数模型,解答函数实际应用问题。这需要掌握函数拟合思想,在理解题意的基础上,把实际问题拟合转化为相应的函数问题,再根据问题要求求解。2.函数建模方法：3.函数建模的步骤：审题、建模、解模、回归。①审题:理解题意,把握问题本质。审题的突破口在于阅读与转译,应用题题目篇幅长,信息容量大,涉及知识点多,划分好层次是审题的关键。在审题过程中,注意领会关键词语.领会定义的内涵和外延;重视条件转译,注意将条件
2、公式化、符号化、图形化,使条件和结论相互靠拢;与图形有关的问题应注意数形结合,弄清题图联系。②建模:分析题中的数量关系,建立相应函数模型,将实际应用问题转化为函数问题。③解模:用函数的知识与方法求解函数模型,得到数学结论,解决转化了的函数问题。④回归:将求得的数学结论还原回实际问题,检验结果的实际意义,给出正确答案。4.常见函数模型：常见函数模型一般地有分式函数模型,线性函数模型,二次函数模型,分段函数模型,指数、对数函数模型、三角函数模型等,解决涉及费用最省、面积、体积最大、利润最大等问题。5.应用Ⅰ、利用给定的函数模型解决涉及函
3、数值、取值范围、最值等实际相关问题;Ⅱ、建立函数模型解决涉及费用最省、面积、体积最大、利润最大等实际问题;Ⅲ、根据实际数据选择最佳拟合函数模型。三、案例分析案例1：某农产品去年各季度的市场价格如下表：今年某公司计划按去年各季度市场价的“最佳近似值m”（m是与上表中各售价差的平方和取最小值时的值）收购该种农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点。（1）根据题中条件求m（元/担）值；（2）写出税收y（万元）与
4、x的函数关系式；（3）若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围。分析：这是涉及税收的问题，税收是以收购总价值为基础，收购总价值(单位：万元)=单价(单位：万元/万担)×收购总量(单位：万担)，据此建立税收y（万元）与x的函数模型。解：(1)设m与各售价差的平方和为y，则y取最小值时，，所以m=200（万元/万担）。(2)降低税率后的税率为(10-x)%，农产品的收购量为a(1+2x%)万担，收购总金额200·a(1+2x%)，则（3）原计划税收为（万元），要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83
5、.2%，则，即，解得 ，又。所以x的取值范围是。案例2：（2009上海·理20）有时可用函数 描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。(1)证明：当时，掌握程度的增加量总是下降；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为,,。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。分析：可用函数是分段函数，按照自变量x取值的不同要求（即与）选择不同的对应关系，分别按不同题意解决。证明：（1）当而当，函数是单调递增的，且>0，故当单调递
6、减， 当，掌握程度的增长量总是下降。（2）当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，则0.1+15ln=0.85，整理得，解得。所以，相应的学科是乙学科。 案例3：甲、乙两地相距Skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ckm／h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km／h)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km／h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶．分析：(1)抓住
7、关系式：全程运输成本=单位时间运输成本×全程运输时间，而全程运输时间=(全程距离)÷(平均速度)就可以解决．解：(1)由已知汽车从甲地到乙地所用时间为,全程运输成本为∴所求函数及定义域为:(2)依题意S，a，b，v都是正数，故有当且仅当，时，上式等号成立。①若，则存在时，全程运输成本最小。②若，则不存在。这时要利用函数单调性的方法求全程运输成本的最小值。设任取，使得，则，由于，则∴，即。∴当，在区间(0,c]上是减函数。则当v=c时，y取最小值。综上①可知，当时，速度应为；当时，速度应为v=c。评注：此题是1997年全国高考试题。由于
8、限制汽车行驶速度不得超过c，因而求最值的方法也就不完全是常规的方法，再加上字母分类的抽象性，使难度有所增大。本题用导数法也顶好的。另解（导数法）：令，∴。①当时，函数在上单调递减，∴，这时。②当时，函数在上单调递减，在上
