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《特级教师高考数学首轮复习第6讲 函数周期 性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、特级教师高考数学首轮复习第6讲函数周期性一、周期性知识结构二、重点叙述1.函数周期性概念例如,函数y=sinx,x∈R;函数,都是周期函数。①周期函数:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。②最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。例如,正弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π。③周期函数不一定存在最小正周期。例如,对于常数函数f(x
2、)=c(c为常数,x∈R),所有非零实数T都是它的周期,由于T可以是任意不为零的常数,而最小正数是不存在的,所以常数函数没有最小正周期。2.几何特征函数y=sinx,x∈R的图象:函数的图象:周期函数的图象具有"周而复始"的变化规律。也就是图象上的点每间隔长度T就"周而复始"地重复出现。3.判定方法①图像法:按周期函数的几何特征做出判断。也就是看函数图象有否具有"周而复始"的变化规律,若有,看每间隔"多长"重复出现,这个间隔的"长度"就是函数的周期。②定义法:按周期函数的定义做出判断或证明,注意:Ⅰ、x是定义域内任意的值,决不能个别或局部的x;Ⅱ、等式要恒成立
3、。三、案例分析1.案例1:①利用函数周期性画图象:只要画一个周期内函数的图象，按每间隔长度T就"周而复始"的变化规律，可画出函数的整个图象。定义在R上的偶函数y=f(x)又是周期函数，其最小正周期T=4，已知x∈[0，2]时，，画函数y=f(x)在R上的图象。【答案】分析:函数y=f(x)是偶函数，当x∈[-2，0]时，-x∈[0，2]，则。先画函数y=f(x)在区间[-2，2]的图象，再由T=4，函数图象每间隔4就重复出现，就得函数y=f(x)在R上的图象。解:∵函数y=f(x)是偶函数，∴当x∈[-2，0]时，-x∈[0，2]，则。∴。∵最小正周期T=4，
4、∴函数在上的图象是:2.案例2:揭示函数周期性、奇偶性与对称性的关系:(1)定义在R上的函数y=f(x),它既关于直线x=a对称，又关于直线x=b(b≠a)对称，求证它是周期函数，周期T=2(b-a)。(2)定义在R上关于直线x=a对称的周期函数y=f(x),其最小正周期为A，则它必关于直线x=对称。【答案】(1)要证函数的周期是，只要证明，利用函数的图象关于直线对称的条件，即由进行推导。(2)根据条件有，所以，从而得证。证明:(1)证明:∵函数y=f(x)关于直线x=a对称，∴。同理，函数y=f(x)关于直线x=b对称，∴。∴，令u=2a-x，则x=2a-u
5、，∴，∴。(2)证明:∵函数的图象关于直线对称，∴。∵函数的最小正周期为A，∴。∴。令，则，∴，所以函数的图象是关于直线对称。3.案例3:利用函数周期性研究函数的性质把整体函数性质的研究转化为某一周期内函数性质的研究，通过局部研究得出函数的整体性质。定义在R上的偶函数y=f(x)又是周期函数，其最小正周期T=4，已知x∈[0，2]时，。(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)求函数增减的单调区间;(3)求函数的最值。【答案】先求在一个周期内的函数解析式、单调区间和最值，进而按周期"复制"到整个定义域R上，得在整个定义域R上的函数解析式、单调区间和最值。解:(1
6、)∵函数y=f(x)是偶函数，∴当x∈[-2，0]时，-x∈[0，2]，则。∴。所以，所求的函数解析式是。(2)函数在上是减函数，在上是增函数，由于函数的周期，所以函数的减函数区间是，增函数区间是。(3)函数在内的区间上是减函数，在区间上是增函数，∴函数在内的最大值是，最小值是。又函数的，所以函数在R上的最大值是，最小值是。4.案例4:利用函数周期性求函数值:定义在R上的偶函数y=f(x)关于直线x=2对称，已知当x∈(-2，-1)时，，求函数值。【答案】。分析:因为函数是R上的偶函数，且关于直线x=2对称，可推得周期。又函数y=f(x)是偶函数，则当x∈(1
7、，2)，即-x∈(-2，-1)时，有。于是利用函数的周期性可求得。解:因为R上的偶函数y=f(x)关于直线x=2对称，则，令，则，所以函数的一个周期是。又因为函数y=f(x)是偶函数，则当x∈(1，2)时，-x∈(-2，-1)，所以。所以。5.案例5:(2006安徽高考,理15)函数f(x)对任意实数x满足条件f(x+2)=，若f(1)=-5，则f[f(5)]=_。【答案】。分析:由条件f(x+2)=，可得函数的周期，进而将转化为解决。解:∵函数f(x)对任意实数x满足条件，∴，即周期。∴f(5)=f(1+4)=f(1)=-5，∴f[f(5)]=f(-5)=f
8、(-5+4)=f(-1)=f(-1+4
