特级教师高考数学首轮复习第10讲-高次函数

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1、一、知识结构二、重点叙述1.定义：函数叫做三次函数,x是自变量,定义域是R。三次函数是最低次数的高次函数,也是最简单的高次函数。2.图象：设,记。(1)若有不同两实根x1,x2(不妨设x12),(2)(3)3.性质：（主要研究函数单调性、极值与最值）4.应用Ⅰ、求函数解析式;Ⅱ、求函数的单调区间、极值与最值;Ⅲ、三次函数导数的“三个二次”关系的应用;Ⅳ、解决高次函数综合的问题。三、案例分析案例1：（2009福建卷理20第一小题）已知函数,且(1)试用含的代数式表示b,并求的单调区间；【答案】分析：解决高次函数问题一般用导数的方法。由得的关系，于是可用表示。由或可求得函数的单调区间，

2、由于函数含字母参数，必有涉及参数的分类研究。解：(Ⅰ)函数取导得，由。所以。∵，令。①当即时，当x变化时，与的变化情况如下表：x+－+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。②当，即时，有恒成立，仅在处，故函数的单调增区间为R。③当，即时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为综上所述：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为。案例2：（2008·天津21第三小题）已知函数（），其中．（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．【答案】分析：一般地说，在函数最大值存在时，

3、“不等式在上恒成立”问题转化为的问题解决，从而转化为求函数的最大值的问题。由于函数是高次函数，常用导数方法求函数的最大值。解：．由条件，可知，从而恒成立．当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增。因此函数在上的最大值是与两者中的较大者，即。为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，在上恒成立．当且仅当，且,所以，因此满足条件的的取值范围是。案例3：（2009陕西文20第二小题）已知函数（2）若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。【答案】分析：由“在处取得极值”，即，可求得的值，可得函数的解析式。“直线y=m与的图象有三个不同的交点”，必须

4、具备m的值介于函数的极大值与极小值之间的条件下，在区间内存在小于函数极小值的函数值，在区间内存在大于函数极大值的函数值。这是必要条件转充分所必须的。解：，因为在处取得极值，所以所以令解得。于是函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。所以函数在处取得极大值，在处取得极小值。因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，，由函数的单调性可知，的取值范围是。案例4：（2009全国卷Ⅰ理）（本小题满分12分）设函数在两个极值点，且（I）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；(II)证明：【答案】分析：（I）函数的极值点是其导函数的零点，是方程的两个实根。根的区间分

5、布满足，则有，求得满足的约束条件，然后坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域。(II)利用消元的方法，消去目标函数中的（如果消会较繁琐），再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得求得函数的取值范围，实际上是求函数的最大值和最小值。解：（I），由题意知方程有两个根则右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。(II)∵．．．．．．．．．．．．①又．．．．．．．．．．．．．．．．．．②　　由①②消去可得．又，且  ∵，∴函数在上是减函数，∴。案例5：（2009宁夏海南·文21第二小题）已知函数.（2）若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围。【答案】分析：当时，12a恒成立，也就是当时

6、，，从而转化为求函数的最大值。解：当时，12a恒成立，转化为。∵，它的图像是一条开口向上的抛物线，且关于直线对称。①若上是增函数，从而          上的最小值是最大值是∵12a恒成立，即为，于是有          又，所以。            ②若，则不恒成立。所以使恒成立的a的取值范围是四、总评⑴导数法是研究高次函数的一般方法,重点是研究高次函数的单调性、极值与最值。三次函数是最基本的高次函数,其导数是二次函数,它的零点、正负性决定了高次函数的单调性、极值与最值。⑵高次函数中的零点问题,不等式恒成立的问题,最值问题常常是高次函数的重点问题,其实质常常是高次函数的单调性

7、与极值问题,从而转化为求函数的单调性和极值问题解决。⑶函数方程思想,数形结合思想,化归转化思想,逻辑划分思想是研究解决高次函数问题常用的思想方法,要深刻理解,比较熟练地应用与把握。