特级教师高考数学首轮复习第12讲-对数、对数函数.docx

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1、来源：591UP一、知识结构二、重点叙述1.对数①定义:一般地,如果a(a>0,a≠1)的x次幂等于N,就是ax=N,那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm),记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。常用对数:我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便,N的常用对数log10N简记作lgN.自然对数:在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数,以e为底的对数叫自然对数,为了简便,N的自然对数logeN简记作lnN。②对数的性质:(1)>0且≠1);(2)1的对数是零,负数和零没有对数;(3)(>0且≠1);(4)。③运算性质:如果>0且≠1

2、,M>0,N>0,那么:(1)(2)(3)(4)换底公式:。2.对数函数 ①定义:一般地,函数叫做对数函数,其中x叫自变量,函数的定义域是(0,+∞)。②图象:当a>1时  当01的图象纵坐标都大于001的图象纵坐标都小于0③性质:分  类  定义域(0,+∞)值  域R奇偶性非奇非偶函数单调性增函数减函数过定点(1,0)分段性    若对数的底数互

3、为倒数,则这两个对数函数的图象关于x轴对称。④指、对数函数的关系:对数函数与指数函数互为反函数(本教材没有反函数的概念),坐标特点是x、y互换,图象特点是它们的图象关于直线y=x对称。3.应用Ⅰ、对数的性质及运算的应用;Ⅱ、对数函数的图象与性质的应用;Ⅲ、对数函数的综合应用。三、案例分析 案例1：计算:（1）（2） 答案：(1);(2)5。分析：利用指、对数概念的性质及其运算性质解题。解：(1)      (2)案例2：比较下列a，b，c的大小：（1）设a，b，c均为正数，且；（2）已知1＜x＜10，且；（3）（2009天津·文5）设。答案：(1)c>b>a;(2)b>a>c;(3)c>

4、a>b。分析：第(1)小题是以多个指、对数函数为背景的实数大小比较，用图象法解决较好；第(2)小题是以常用对数为背景的实数大小比较，可以用正负分段的方法、求差比较法、单调法解决；第(3)小题也是以多个指、对数函数为背景的实数大小比较，可以用正负分段的方法、求差比较法、单调法解决。解：(1)表示是方程的根，即是函数图象与函数图象交点的横坐标，同理，是函数图象与函数图象交点的横坐标，是函数图象与函数图象交点的横坐标。如图，画函数、、、图象，可得。(2)∵，∴，于是，而。∵，∴。所以。(3)由指、对数函数性质，有，。如图，画函数的图象，观察可得。∴实数的大小为。另解：∵，∴，即，∴。案例3：设

5、函数f(x)=log2，试判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性定义给出证明。答案：单调增区间(-1,1)。分析：是复合函数，用复合的方法判断函数的单调性，进而用函数单调性的定义证明。解：令，解得，∴函数的定义域是。令，显然函数在上单调递增。∵函数在上单调递增，∴函数在上单调递增。用单调性定义证明：设，则，∵，∴，，，∴，即。∵函数在上单调递增，∴，即。所以函数在上是增函数。案例4：设f(x)＝lg，如果当x∈(-∞,1]时f(x)有意义，求实数a的取值范围。答案：a>-。分析：当x∈(-∞,1]时，函数f(x)＝lg有意义的问题，转化为不等式1＋2＋4a＞0在x∈(-∞,1]上恒成立

6、的问题。解：当x∈(-∞,1]时f(x)有意义，也就是不等式1＋2＋4a＞0在x∈(-∞,1]上恒成立，即：()＋()＋a＞0在x∈(-∞,1]上恒成立。设t＝(),  则t≥，  又设g(t)＝t＋t＋a，其对称轴为t＝－，∴不等式()＋()＋a＞0在x∈(-∞,1]上恒成立，转化为不等式在上恒成立。从函数的图象可得，当且仅当  g()＝()＋＋a＞0，于是解得a＞－。所以所求实数a的取值范围是a＞－。评注：在解决不等式()＋()＋a＞0在x∈(-∞,1]上恒成立的问题时，也可使用“分离参数法”：设t＝(),  t≥，则有a＝－t－t∈(－∞,－]，所以a的取值范围是a＞－。案例5：已

7、知函数（1）求的定义域；（2）在函数的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；（3）当a，b满足什么条件时，在上恒取正值。答案：(1)定义域是;(2)在定义域内单调递增,故不存在所述两点;(3)a-b≥1。分析：（1）求函数的定义域，其实质就是利用指数函数的性质解不等式；（2）问题的结论取决于是否单调，考察单调性有三种方法：①求导，②运用单调性定义，③复合分析，应该方法①最好；（3）由于函数在定义域上递增，利用数形结