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《特级教师高考数学首轮复习第5讲-函数的奇偶性.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、函数的奇偶性知识结构二、重点叙述1.函数奇偶性定义①严格定义:对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。②定义内涵:Ⅰ、在定义域内既存在x,又存在,所以其定义域必须关于原点对称。这构成了函数奇偶性的必要条件。Ⅱ、奇函数:f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0,或(若f(x)≠0)。偶函数:f(-x)=f(x)f(-x)-f(x)=0,或(若f(x)≠0)。Ⅲ、已知函数f(x)是奇函数,
2、若f(0)有定义,则f(0)=0;偶函数则不一定,若f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)óf(x)=f(
3、x
4、)。③定义外延:Ⅰ、奇偶性与单调性的关系:奇函数在对称区间(-b,-a)与(a,b)上增减性相同;偶函数在对称区间(-b,-a)与(a,b)上增减性相反。Ⅱ、奇偶性与运算的关系:设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上奇偶性为:奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇。Ⅲ、奇偶性与复合函数的关系:已知函数g(x),f(x),f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的,若u=g(x),y=f(u)
5、都是奇函数时,则y=f[g(x)]是奇函数;若u=g(x),y=f(u)都是偶函数,或者一奇一偶时,则y=f[g(x)]是偶函数。2.几何特征①定义域关于原点对称是函数奇偶性的必要条件。②奇函数的图象关于原点成中心对称。③偶函数的图象关于y轴对称。 3.判定方法奇偶性的判断方法有图象法,定义法,运算法和复合法。证明函数奇偶性一定要用定义法。①图象法:若函数图象关于原点成中心对称,则其函数是奇函数;若函数图象关于y轴对称,则其函数是偶函数。②定义法:Ⅰ、定义域是否关于原点对称,若不是,则是非奇非偶函数;若是,还要看Ⅱ。Ⅱ、若,或f(-x)+f(x)
6、=0,或(若f(x)≠0),则是奇函数;若f(-x)=f(x),或f(-x)-f(x)=0,或(若f(x)≠0),则是偶函数。③运算法:设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上奇偶性:奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇。④复合法:已知函数g(x),f(x),f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的,若u=g(x),y=f(u)都是奇函数时,则y=f[g(x)]是奇函数;若u=g(x),y=f(u)都是偶函数,或者一奇一偶时,则y=f[g(x)]是偶函数。4.主要应用①判断函数的奇偶性:按判定方法操作
7、,一般先用图象法,也可以用定义法,或运算法、复合法,因题而异。②证明函数的奇偶性:一定要用定义法证明。③利用函数的奇偶性求函数解析式:已知定义域一边对称区间上的函数解析式,利用函数的奇偶性可求得另一边对称区间上的函数解析式,进而求得整个函数解析式。即已知定义在R上奇函数,若当x∈(-∞,0]时,函数解析式为y=f(x),则R上的函数解析式为。已知定义在R上偶函数,若当x∈(-∞,0]时,函数解析式为y=f(x),则R上的函数解析式为。④求值域与最值:⑴求值域:Ⅰ、已知定义域一边对称区间上的函数值范围,利用函数的奇偶性可求得另一边对称区间上的函数值
8、范围,进而求得整个定义域上的函数值范围,即求得整个函数的值域。Ⅱ、已知定义在R上奇函数,若当x∈(-∞,0]时,函数值的范围为[a,b],则当x∈[0,+∞)时,函数值的范围为[-b,-a],所以在R上的函数值域为[-b,-a]∪[a,b]。Ⅲ、已知定义在R上偶数,若当x∈(-∞,0]时,函数值的范围为[a,b],则当x∈[0,+∞)时,函数值的范围为[a,b],所以在R上的函数值域为[a,b]。⑵求最值:同理已知定义域一边对称区间上的函数值范围,利用函数的奇偶性可求得另一边对称区间上的函数值范围,进而求得整个定义域上的函数值范围,即可求得整个函
9、数的最值。已知定义在R上奇函数,若当x∈(-∞,0]时,函数的最大(小)值A,当x∈[0,+∞)时,函数的最小(大)值为-A,所以在R上的函数的最小(大)值为-A,最大(小)值A。已知定义在R上偶函数,若当x∈(-∞,0]时,函数的最大值A,最小值B,则当x∈[0,+∞)时,函数的最大值也是A,最小值也是B,所以在R上的函数的最大值为A,最小值为B。三、案例分析1.案例1：（判断或证明函数奇偶性：）判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝+(2)f（x）=(3)f(x)＝lg(+x);【答案】⑴非奇非偶函数;⑵偶函数;⑶奇函数。分析：判断函数奇偶性
10、，先看定义域是否关于原点对称，再看f(－x)=±f(x)或等价形式：，。第(1)小题的定义域，不关于原点对称；第(2)小题是分段函数，可
