特级教师高考数学首轮复习第17讲-函数综合应用.docx

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1、一、知识结构二、重点叙述1.函数综合应用的重点函数的综合应用重点解决好四个问题:①准确深刻地理解函数的有关概念;②揭示函数与其他数学知识的内在联系;③把握数形结合的思想和方法;④认识函数思想的实质,强化应用意识。①准确、深刻理解函数的有关概念概念是数学的基础,函数概念是数学中最主要的概念之一,函数概念贯穿在中学代数的始终。数、式、方程、不等式、初等函数、数列、极限、导数、微积分等都是以函数为中心的代数。②揭示函数与其他数学知识的内在联系。函数是研究变量及相互联系的数学概念,是变量数学的基础,利用函

2、数观点可以从较高的角度处理数式、方程、不等式、数列、曲线与方程、导数、微积分等内容。所谓函数观点,实质是将问题放到动态背景上去加以考虑。在利用函数和方程的思想进行思维中,动与静、变量与常量生动的辩证统一,揭示了函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式。③把握数形结合的思想和方法函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合,有效地揭示了各类函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性,体现了数形结合的思想与方法,因此,既要从定形、定性、定理、定位等方面精确地观察图形、绘制简图,又要熟练地

3、掌握函数图象的常规变换,体现了“数”变换与“形”变换的辩证统一。④认识函数思想的实质,强化应用意识函数思想的实质就是应用联系与变化的观点提出数学对象,抽象数量特征,建立函数模型,求得问题的解决。函数思想方法的应用不但重要,而且广泛,必须强化函数建模思想的应用,学会运用函数建模的思想方法解决实际问题。2.应用：Ⅰ、函数图象、性质与最值的综合应用:Ⅱ、函数与方程、不等式的综合应用:Ⅲ、函数模型的综合实际应用三、案例分析案例1：定义在区间(－∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间［0，

4、+∞)的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式： ①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)      ②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)   ③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)        ④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)其中成立的是(    )A.①与④B.②与③C.①与③D.②与④ 【答案】C分析：用图象法或特殊函数特殊值法解之。图象法：如图，①与③正确，选C。解：特殊函数特殊值法：设，，，则∴。案例2：设函数f(x)的定义域为R，对任意实

5、数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)，当x＞0，f(x)＜0，且f(3)=－4。（1）求证：f(x)为奇函数；（2）在区间［－9，9］上，求f(x)的最值.【答案】(1)证明略;(2)最大值为12,最小值为-12。分析：本题涉及抽象函数，赋值法是基本方法，关键是如何赋值，要注重目标达成的赋值设计，达到证明函数在R上是奇函数，在区间上是减函数，利用单调性求函数最值。（1）证明：令x=y=0,得f(0)=0令y=－x,得f(0)=f(x)+f(－x),即f(－x)=－f(x)∴f(x)在R上是

6、奇函数。（2）解：任取实数x1、x2∈［－9,9］，且x1＜x2，这时，x2－x1＞0，f(x1)－f(x2)=f［(x1－x2)+x2］－f(x2)=f(x1－x2)+f(x2)－f(x2)=－f(x2－x1)因为x2－x1＞0，，∴f(x1)－f(x2)＞0，∴f(x)在［－9，9］上是减函数故函数f(x)的最大值为f(－9)，最小值为f(9)。∵f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=－12，f(－9)=－f(9)=12.∴f(x)在区间［－9，9］上的最大值为12，最小值为－12。【答案】

7、(1)证明略;(2)最大值为12,最小值为-12。分析：本题涉及抽象函数，赋值法是基本方法，关键是如何赋值，要注重目标达成的赋值设计，达到证明函数在R上是奇函数，在区间上是减函数，利用单调性求函数最值。（1）证明：令x=y=0,得f(0)=0令y=－x,得f(0)=f(x)+f(－x),即f(－x)=－f(x)∴f(x)在R上是奇函数。（2）解：任取实数x1、x2∈［－9,9］，且x1＜x2，这时，x2－x1＞0，f(x1)－f(x2)=f［(x1－x2)+x2］－f(x2)=f(x1－x2)+f

8、(x2)－f(x2)=－f(x2－x1)因为x2－x1＞0，，∴f(x1)－f(x2)＞0，∴f(x)在［－9，9］上是减函数故函数f(x)的最大值为f(－9)，最小值为f(9)。∵f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=－12，f(－9)=－f(9)=12.∴f(x)在区间［－9，9］上的最大值为12，最小值为－12。案例3：（2009辽宁·理21）已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。（1）讨论函数的单调性；        （2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。分析：第