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《特级教师高考数学首轮复习第9讲-一次、二次函数.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、知识结构二、重点叙述1.一次函数①定义:函数y=kx+b(k≠0)叫做一次函数,x是自变量,定义域是R。当b=0时,y=kx(k≠0)称做正比例函数。 ②图象:一次函数图象是过点(0,b)且与x轴斜交的一条直线。正比例函数图象是过原点且与x轴斜交的一条直线。 (演示)③性质:2.二次函数 3.应用Ⅰ、求函数解析式;Ⅱ、应用“三个一次”、“三个二次”关系,解决方程根的分布、不等式恒成立等问题;Ⅲ、求一次、二次函数闭区间上的最值;Ⅳ、解决函数综合应用与实际应用的问题。三、案例分析1.案例1：已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为（1，3）.(1)若方程有两个相等的实根
2、，求函数的解析式；(2)若的最大值为正数，求a的取值范围。【答案】(1); (2)分析：按题设“顺藤摸瓜”，“各个击破”。首先二次不等式的解集为（1，3）等价转化为，b、c可用a来表示，使二次函数的系数转为一元；其次按(1)、(2)的各自条件分别“摸瓜”。第(1)小题“方程有两个相等的实根”转化为二次方程的判别式，求得的值，得到了函数的解析式。第(2)小题“的最大值为正数”，用配方法求得二次函数的最大值，再解的最大值为正数的二次不等式，求得的取值范围。解：设，不等式的解集为（1，3），当且仅当∴。(1)方程有两个相等的实根，当且仅当，∴， ∵a<0，∴取。∴函数。(2)∵，由
3、于a<0，∴。于是有，即，解得。∵，所以a的取值范围是。2.案例2：（1）函数的定义域为[t-2，t-1]，求函数的最小值的解析式，并求出函数的最小值。（2）设函数，记此函数的最大值为，最小值为，求、的解析式。【答案】分析：（1）关键是求二次函数在闭区间上的最值，本题的特点是二次函数的图象位置确定，而定义区间不断移动。由于二次函数图象的张口向下，那么最小值的分类方法是二次函数的对称轴相对于定义区间端点t-2、t-1的三类分，分别求其最小值。函数的最小值是关于t的分段函数，按分段函数分段研究的办法，进而求得函数的最小值。（2）本题是求二次函数在闭区间上的最大值和最小值，其特点是二次
4、函数的图象位置不确定，而定义区间确定。由于二次函数图象的张口向上，那么最大值的分类方法是二次函数的对称轴相对于定义区间端点-1、1的三类分，最小值的分类方法是二次函数的对称轴相对于定义区间中点的二类分，分别求其最大、小值。求出的最大、最小值是字母a的分段函数。解：（1），定义域为。①当，即时，在区间上单调递增，∴。②当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴。③当，即时，在区间上单调递减，∴。综上所述，显然，函数在上递减，在上递增，所以。（2）。①当，即时，函数在区间上单调递减，∴。②当，即时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴，③当，即时，函数在区间上单调递增，∴
5、。综上所述，函数的最大值与最小值分别为 3.案例3：已知关于x的方程的两个根介于-2和4之间，则实数a的取值范围是________.【答案】分析：“二次方程的两个根介于-2和4之间”，也就是二次函数在区间内有两个零点，如图，用数形结合的方法，则等价转化为解不等式组解：。“方程的两个根介于-2和4之间”所以实数a的取值范围是。4.案例4：设f（x）=x２-2ax+2，当x∈［－1，＋∞）时，不等式f（x）≥a恒成立，则实数a的取值范围是_________.【答案】-3≤a≤1分析:不等式恒成立的问题常常转化为求函数最值的问题解决,也就是“对于,恒成立”,只要,于是问题转化为求函数
6、在上的最小值。解:。当函数存在最小值时,不等式恒成立。如图,可得∴当时,,;当时,,。综上所述,当时,对于,恒成立。5.案例5：已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c，a+b+c=0，(a，b，c∈R).(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.【答案】分析：借助函数与方程转化思想，熟练应用方程的知识及数与形结合的方法解题。第(1)小题，“两函数的图象交于不同的两点A、B”转化为二次方程有两个不等的实根，只要证明二次方程判别式即可。第(2)小题，点A、B在x轴上的射影
7、的坐标就是方程的两根，由韦达定理建立“线段AB在x轴上的射影A1B1的长”的函数，求函数的值域就得“A1B1的长的取值范围”。(1)证明：由消去y得ax2+2bx+c=0，Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+c2］∵a+b+c=0，a>b>c，∴a>0，c<0。∴c2>0，∴Δ>0，即两函数的图象交于不同的两点。(2)解：设方程ax2+2bx+c=0的两根为x1和x2，则x1+x2=－，x1x2=。
8、A1B1
9、2=(x1－x2)2=(x
