第13讲函数的值域与最值

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1、函数的值域与最值【复习目标】1.会用配方法、换元法、判别式法、图像法、不等式法、变量分离法等求函数的值域；2.渗透分类讨论和数形结合的数学思想；3.理解函数值域的意义；掌握常见题型求值域的方法，了解函数值域的一些应用。【知识梳理】一、相关概念1、值域：____________________________________________________称为函数的值域。2、常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。（1）一次函数的值域为____________；（2）二次函数，当时，值域为______________，当时，值域

2、为_____________；（3）反比例函数的值域为_______________；（4）对勾函数的值域为_______________；（5）分式函数的值域为________________；（6）指数函数，值域为________________；（7）对数函数，值域为_________________；（8）三角函数的值域为____________；的值域为________；3、最值：设函数在处的函数值是，如果__________________，则称为函数的最大值，记作__________；设函数在处的函数值是，如果____

3、__________________，则称为函数的最小值，记作________。※注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈D，使得f(x0)=M；②函数最大（小）值是所有函数值中最大（小）的，即对于任意x∈D，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。4、求函数值域的常用方法（1）观察法(用非负数的性质，如：；；等)例如：求下列函数的值域：;_______________变式：;_________________（2）配方法：常可转化为二次函数型，配成完全平方式，根据变量的取值范围，然后利用二次函数的特征来求最值；例：求值

4、域：；例：求函数的值域。变式1：当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是__________变式2：（1）求最值。（-----动轴定区间）（2）求的最值（----------定轴动区间）（3）换元法（代数换元法）通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想；例:求函数的值域。※点评：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误。变式1：求函数的值域.变式2：的值域为____________；变式3：函数的值域为________________；变式4：求函数

5、的值域_________________；变式5：已知是圆上的点，试求的值域。（4）反表示法：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：例：函数y=的值域是（）A.［－1，1］B.（－1，1］C.［－1，1）D.（－1，1）变式2:求函数的值域变式3:求函数，及的值域（5）单调性法：考虑函数在某个区间上的单调性，结合函数的定义域，可求得值域；例：函数的值域。变式：求的值域为_____________;函数f(x)=的值域______________函数的值域____________（6）基本不

6、等式法：利用基本不等式，；求函数的值域时，应注意“一正、二定、三相等”.例：设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是____________.※说明：利用均值不等式解题时一定要注意“一正，二定，三等”三个条件缺一不可。反例：看起来可用均值不等式，其实不能（1）求函数的值域（2）求函数的最小值。（7）数形结合：分析函数解析式表示的几何意义，根据函数图象或函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域例：求函数的值域.变式：已知点在圆上，求及的取值范围。（8）利用判别式法针对分式型，尤其是分母中含有时常用此法。通常去掉分母将函数转化为二次方

7、程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，则在a（y）≠0时，由于x、y为实数，故必须有Δ=b2（y）－4a（y）·c（y）≥0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值.例：求函数的值域。变式：求的值域备用练习题：一．选择题：1．函数的值域是2．函数的值域为（）A．（B．C．D．3.下列函数中，值域是（0，+∞）的函数是（）A．B．C．D．定义在上的函数的值域为，则函数的值域为　　　　　5．函数在区间上的值域为，则的值为（）或6．已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（）A、[1，+∞]B、[0，2]

8、C、（-∞，2）D、[1，2]7．函数的值域是8．函数的定义域是，则其值域是(函数的值域是10．函数的最大值是（）A．B．C．D．11．已知，则有最大值最小值最大值最小值12.函数的最小值是（）13．若的值域为，则的值域为以上都不对1