第 06 讲 函数的值域和最值

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1、第6讲函数的值域和最值（第课时）神经网络准确记忆！函数的值域重点难点好好把握！重点：1．掌握求值域的方法；2．正确选用不同的求解方法；3．求函数的最值。难点：1．复合函数的值域；2．含参函数的值域。考纲要求注意紧扣！1．理解值域的概念，掌握求值域的方法；2．利用函数的性质和数形结合的方法求值域和最值。说明：文科和理科对求值域均没有提出要求，求最值已移到导数部分。命题预测仅供参考！函数的值域和最值每年必考，如果在小题中出现，难度一般不会太大，利用基本方法即可求解；有时也会在综合题中出现，例如讨论函数的性质，解应用问题等等

2、。考点热点一定掌握！1．常见函数的值域一次函数（，）：值域为R；二次函数（，）：当时，值域为，当时，值域为；反比例函数（，）：值域为{且}；指数函数（，且）：值域为{}；对数函数（，且）：值域为R；正余弦函数（，）：值域为[-1，1]；正余切函数（，）：值域为R。2．值域和最值的区别与联系其实，函数值域中的最大（小）值如果存在的话，它就是函数的最大（小）值，也正因为如此，所以求函数最值与求函数值域的方法基本上是相同的。例．求函数的值域和最值。解：易见当时，有最大值16，当时，，所以函数的值域为（0，16]，函数的最大值

3、为16，没有最小值。3．求值域的基本方法⑴配方换元法——把改写成一式的平方与一数之和的形式，然后再利用一式的平方不小于零来求出函数的值域。例．若，求的值域和最值。解：∵，当即时，；又∵，∴，故，当或时，；综上所述，所求的值域为，当时，有最大值；当或时，有最小值0。点评：本题使用配方法。例．求的值域。解：令，则且，则，∵是关于的二次函数的递减区间，∴当时，，故所求函数的值域为。点评：使用配方法时，如果不能一眼看出应该怎么配，可以使用换元技巧。⑵均值不等式法——利用基本不等式（可推广至个正数的算术平均值不小于它们的几何平均

4、值）、或。例．求函数的值域。解：∵，当时，根据可得，∴，当时，，故所求函数的值域为。点评：本题使用基本不等式。⑶判别式法——把函数转化成关于的二次方程，因为为实数，所以有，从而求出的取值范围。形如的函数的值域常使用此法来求。例．求函数的值域。解：把函数变形为，∵，∴，即，解之得，但时，由求不出，即不存在的值使，故舍去。故所求的函数的值域为。点评：本题使用判别式法。4．利用函数性质求值域⑴反函数法——利用“反函数的定义域是原来函数的值域”求函数的值域。此法一般用来求（）型的函数值域。例．求的值域。解：原函数化为，从中可见

5、，故函数的值域为。点评：①对于某些简单的函数，其值域一眼就可以看出来，就没有必要使用这种方法了，例如：求的值域。（解：∵，∴，即，故函数的值域为。）②有的函数的反函数的定义域不易看出，需要靠“原来函数的值域就是反函数的定义域”去确定，对于这样的函数，当然就不能使用这一方法来求值域，例如：求（）的值域。（解：的反函数为，似乎有，但实际上，在中，。这时因为写出其反函数时使用了乘方运算，所以其定义域不易看出。）⑵利用函数的有界性求最值——遇到正余弦函数以及一式的平方时，往往可以利用正余弦函数的值域为[-1，1]，一式的平方不

6、小于零（配方法中有例）来求函数的值域；例．已知，求函数的值域。解：把函数变形为，即，∵，∴，即，∵，∴⑴的解是或，即或故所求的函数的值域为。点评：利用反函数求函数的值域时，有时并不一定要写出反函数的表达式并求出反函数的定义域，只要能得到的取值范围即可。本题中，就没有写出表达式，而直接求出了的取值范围（值域）。⑶利用函数的单调性求最值——利用函数在定义域或定义域的子集上的单调性可以求出函数的值域。例．求函数的值域。分析：∵，∴设，则且，∵，似乎可以利用均值不等式出当时，有最小值，但仔细一想，由可得，这个不在的定义域内，所

7、以这里需要进一步判断的最小值究竟是多少。∵在区间内单调递增，∴在区间的子区间内也单调递增。也就是说，当时，取得最小值。点评：求函数值域时，一定要注意定义域的问题。5．利用数形结合求最值如果函数解析式的形式正好符合诸如距离、斜率等等的计算公式，那么可以使用形数结合的方法来求函数值域。4例．求函数的最小值。2分析：这个正好是轴上的一点到两点5和的距离之和。如图，要求一点到两点、的距离之和最小，由平面几何知识可知，只要作出点关于轴的对称点，再连接，与轴的交点就是所求的，所以。6．利用导数求最值如果函数ƒ在[a，b]上连续，在

8、(a，b)内可导，要求ƒ在[a，b]内的最大值和最小值只要先求函数ƒ在(a，b)内的极值和函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)，然后再将求出的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。特别地，如果函数ƒ在[a，b]上单调增，则为最小值，为最大值；如果函数ƒ在[a，b]上单调减，则为最小值，为最大值。极值