函数的值域和最值

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1、四、函数的值域和最值思考：常见的求值域的方法有：（1）直求（利用的范围一点点向外求值域）；（2）反解（用表示求解）；（3）分离变量；（4）均值不等式；（5）换元为二次函数（或已知的函数）；（6）函数单调性（包括求导）；（7）用判别式求解；（8）线性规划知识。注意：值域依赖于定义域，但不同的定义域可以有相同的值域。预热题组：求下列函数的值域：（1）；；方法：换元解：令，则所以：值域为：（2）；；方法：分离变量和直求解：因为：，所以即值域为：（3）；；方法：分段求，然后求并集。或看图象答案：（4），方法：求导看单调性解：013负0正1减极小值增19所以值域为：例1

2、：设m是实数，记M={m

3、m>1},(1)证明：当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M.(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值.(3)求证：对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1.（1）证明：真数当时，真数为正，即当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义同样地，真数成立，即，所以若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M.解：（2）所以：（3）由（2）则当且仅当时取等号。所以例2：设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8cm的空白，左右各留5cm空白，怎

4、样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？解：（1）设高为，则宽为（）且面积为：，当且仅当时取等号答：当长为55厘米，高为88厘米时，面积最小为：6760平方厘米。解：（2）同上，在给定的定义域上函数单调减，所以当时有面积的最小值。例3：已知函数f(x)=,x∈(1)当a=时，求函数f(x)的最小值.(2)若对任意x∈,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.解：（1），在上成立，所以（2）即恒成立，即，成立，成立令在区间上减，所以满足，成立，即大于的最大值，所以练习1：函数（）的值域

5、是：A.B.C.D.方法：通过求导利用单调性（不能用均值，因为没有正数条件）解：，函数单调减，所以，选B练习2：函数的值域是：A.B.C.RD.方法：换元成为二次函数求解解：令，则，即函数的最大值为，选A练习3：一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于()2千米，那么这批物资全部运到B市，最快需要_________小时(不计货车的车身长).方法：利用均值不等式求解解：，当且仅当即千米/小时时取等号。练习4：设为方程的两个实根，当m=_________时，有最小值_________.方法：

6、二次函数，注意有根条件解：有两个实根，则，即或当时，有最小值为三、解答题练习5：某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)=5x－x2(万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位：百台)(1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量多少时，企业所得的利润最大？(3)年产量多少时，企业才不亏本？分析：利润等于收入减去成本解：（1）当时，当时，即：（2）当，最大值为当时，最大值所以当生产475百台时，有最大利润为10.78125万元（3）不亏本，就是

7、或解得：百台答：略练习6：已知函数(1)若的定义域为，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的值域为，求实数a的取值范围.解：（1）真数恒成立当且时，即时成立当时且，解得：或所以，定义域为R，则或（2）值域为R，则真数可取遍所有正数当且时，即时成立当时且，解得：所以，值域为R，则练习7：某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算,这些工时均用于生产)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台.已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表：家电名称空调器彩电冰箱工时产值(千元)432问每周应生产空调器、彩电、冰箱

8、各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？(以千元为单位)解：设生产空调器台，彩电台，冰箱台，则有：，求总产值的最值当时，有最大总产值1050千元答：略练习8：在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB所在直线为轴将△ABC旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之和为S1，△ABC的内切圆面积为S2，记=x.(1)求函数f(x)=的解析式并求f(x)的定义域.(2)求函数f(x)的最小值.解：，且所以：其中，即（2），所以在，函数单减，练习9：用总长14.8m的钢条作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容

9、积最大?并求出它的最大容积.解：设长、