函数的值域和最值t

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1、教学内容【知识结构】一、值域：函数，我们把函数值的集合称为函数的值域。二、最值：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。若函数的最大、最小值求出来了，值域也就知道了，反之，若求出的函数的值域为非开区间，函数的最大或最小值也等于求出来了，因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。三、基本函数的值域1、一次函数的定义域为R，值域为R；2、

2、二次函数的定义域为R，3、反比例函数的定义域为{x

3、x0}，的值域为4、分式函数的值域为。【例题精讲】一、观察法(用非负数的性质，如：；；等)例如：求下列函数的值域：;变式：1)2)函数的值域是二、配方法：常可转化为二次函数型，配成完全平方式，根据变量的取值范围，然后利用二次函数的特征来求最值；例：求值域：；解析：通过配方可得；开口向上，所以当时，函数取最小值；当x时，在时，函数的最小值为；最大值在x=3时取到，；故其值域为[,13];拓展:1)函数在区间上的值域为，则的值为（）或2)已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则m的取

4、值范围是（）A、[1，+∞]B、[0，2]C、（-∞，2）D、[1，2]变式：（1）求最值。（-----动轴定区间）（2）求的最值（----------定轴动区间）三、换元法（代数换元法）通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想；例、求函数的值域。解：由于题中含有不便于计算，但如果令：注意从而得：变形得即：点评：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误。四、分离常数法（分式转化法）；对分子.分母有相似的项某些分式函数，可通过分离常数法，化成(常数)

5、的形式来求值域．例：求函数的值域。解:观察分子、分母中均含有项,可利用部分分式法；则有不妨令：从而注意：在本题中若出现应排除,因为作为分母.所故另解：观察知道本题中分子较为简单,可令,求出的值域,进而可得到y的值域。五、利用判别式法针对分式型，尤其是分母中含有时常用此法。通常去掉分母将函数转化为二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，则在a（y）≠0时，由于x、y为实数，故必须有Δ=b2（y）－4a（y）·c（y）≥0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值.例：求函数的值域。解：由于本题的分子、分母均为关

6、于x的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：整理得：当时，上式可以看成关于的二次方程，该方程的范围应该满足即此时方程有实根即△,△细心的读者不难发现，在前面限定而结果却出现：我们是该舍还是留呢？注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是）代回方程检验。将分别代入检验得不符合方程，所以。变式：的值域。②；[1,5]③注意：1.一般用在定义域为R的情况下，如果定义域不是R，也可用，但需对最后的结果进行检验、既对y取得等号值的时候对应的x值是否在定义域范围内。2、转化后要对二项式系数是否为零进行讨论3.若对自变量有其他

7、限制，就不好用判别式法了4、分子分母有公因式的时候不能用判别式法，要先化简。如求函数的值域。原函数可化为=(),即1+(),0,六、基本不等式法：利用基本不等式，例：设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是____________.（答：）。反例：看起来可用均值不等式，其实不能（1）求函数的值域（2）求函数的最小值。原函数可化简为令，则这是一“对勾”函数，其在上是减函数，在上为增函数，所以在上，函数的最小值是当时，）