函数的最值和值域

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1、函数的最值和值域一、函数最值的定义1.最大值：如果对于函数定义域内的任意一个自变量，存在，使得成立，则称是函数的最大值．注意：下面定义错在哪里？应怎样订正．如果对于函数定义域内的任意一个自变量，都有，则称是函数的最大值．2.最小值的定义同学们自己给出．二、最值的求法1.可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围．例1已知的最小值为，求的值．例2求函数的最值．解：令（注意的范围），这样所求函数就变为二次函数．总结：当式子中同时出现和时，都可以化为二次式．例3求函数的最值．解：两边平方，得问题就转化为求二次函数的最值．思考：为什么会想到两边平方，要注意哪些问

2、题？2.判别式法：主要适用于可化为关于的二次方程，由（要注意二次项系数为0的情况）求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的的值．例1求函数的值域．解：函数可变为，即，因为该方程有解，所以，由得，解得，所以函数的值域为．总结：由判别式法求出的值域就是△≥0这个关于y的不等式的解集．例2已知函数的定义域为，值域为，求的值．解：由函数的定义域为，得的解集为，即的解集为，∴又由函数的值域为得，函数的值域为，将函数变为，依题意知是这个关于的不等式的解集．例3求下列函数的值域（1）（2）（3）（4）解：（1）用法；或函数变为或换元（的范围），则（）（2）用法；

3、或，令（注意的范围）则．（3）（4）用法；或，用均值不等式求最值．3.换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换．（1）形如的函数的最值常用三角代换．例1求函数的最值．解：因为，所以，令，，则总结：①当某个字母在内取值，则该字母可设为；②当某个字母在内取值，则该字母可设为；或．例2求函数的最值．设，则，设，则（2）形如的函数的最值常用整体代换．例求函数的值域．解：令（注意的范围）4.不等式法：利用均值不等式求最值．例1已知二次函数的导数为，，对于任意实数，有，求的最小值．5.利用函数的性质求函数的最值例1求函数

4、的最小值．例2关于函数，有下面四个结论，其中正确结论的个数为①是奇函数；②当时，；③的最大值是；④的最小值是．6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法例1例27.利用导数求函数的最值例1求函数在区间上的最值．例28.其他例设表示中最小的一个，给出下列命题：①；②设，有③变式练习（1）设函数，求函数的最大值．三、最值在函数中的广泛应用在函数中，主要是研究自变量的变化对函数值会产生怎样的影响，因此，函数题中很多条件可以从函数值的角度去理解，即可把问题转化求函数的值域或最值．1.方程有解问题通过分离参数，将方程化为，则求的范围就是求函数的值域．2.不等式恒成立或不等

5、式有解问题这类问题经常转化为求函数的最值．3.（为常数）这个不等式可以理解为任意两个函数值的差的绝对值小于等于，即等价．类似地，“存在，使成立”怎样转化呢？4.对任意都成立．这个不等式变形为，可以理解为函数图像上任意两点连线的斜率的绝对值小于等于，即任意点的导数的绝对值小于等于（），属不等式恒成立问题．思考：若存在，使不等式成立．可以怎样转化呢？5.对于任意，总存在，使得．上面的语句可以理解为：函数的任意一个函数值都是函数的某个函数值，即的值域是的值域的子集．类似地，“存在，，使得”可以怎样理解？6.存在，使得上面的语句可以理解为：存在三个函数值，使得其中两个

6、函数值的和会大于第三个函数值，即针对训练1．设函数的定义域为，如果对于任何一个，都有唯一的和它对应，并使（为常数）成立，则称函数在上的均值为．给出下列四个函数：①②；③；④．则满足在定义域上均值为2的函数有2.已知函数．（1）求的单调区间和值域；（2）设，函数，，若对于任意，总有，使得成立，求的取值范围．3.设是函数的一个极值点．（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（2）设，．若存在使得成立，求的取值范围．