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1、infiniteseries第10章无穷级数为什么要研究无穷级数是进行数值计算的有效工具(如计算函数值、出它的威力.在自然科学和工程技术中,?无穷级数是数和函数的一种表现形式.因无穷级数中包含有许多非初等函数,故它在积分运算和微分方程求解时,也呈现如谐波分析等.造函数值表).级数来分析问题,也常用无穷2常数项级数的概念收敛级数的基本性质小结思考题第10章无穷级数constantterminfiniteseries10.1常数项级数的概念和性质3引例依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.即设a0表示内接正三角形面积,ak表示边数增加时增加的面积,
2、则圆内接正一、常数项级数的概念用圆内接正多边形面积逼近圆面积.边形面积为41.级数的定义(常数项)无穷级数一般项如以上均为(常)数项级数.(1)5这样,级数(1)对应一个部分和数列:称无穷级数(1)的2.级数的收敛与发散概念按通常的加法运算一项一项的加下去,为级数(1)的无穷级数定义式(1)的含义是什么?也算不完,永远那么如何计算?前n项和部分和.(1)从无限到有限,再从有限(近似)到无限(精确)6部分和数列可能存在极限,也可能不存在极限.定义2则称无穷级数并写成即常数项级数收敛(发散).(不存在)存在当n无限增大时,部分和数列sn有极限s,如果sn
3、没有极限,7对收敛级数(1),为级数(1)的余项或余和.显然有当n充分大时,级数的敛散性它与部分和数列是否有极限是等价的.(1)称差误差为8例1而所以,的部分和级数级数发散.9解(重要)例2讨论等比级数(几何级数)的收敛性.级数收敛;因为所以10级数发散;级数发散;级数发散.综上:级数变为因为所以所以11解例3判定级数的收敛性.因为所以12其余项为即所以所以级数收敛,13例4因为后式减前式,得证证明级数并求其和.收敛,14故所以,此级数收敛,且其和为2.15的部分和分别为则于是也不存在极限.证性质1设常数则有相同的敛散性.所以,有相同的敛散性.结论:
4、级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.二、收敛级数的基本性质16讨论级数的敛散性.解例5因为为公比的等比级数,是以故级数收敛;级数发散.17性质2设有两个级数发散.收敛,发散,均发散,敛散性不确定.证极限的性质即证.级数的部分和结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.18例6都收敛.无穷递减等比数列的和19都发散.但级数收敛.例7若两级数都发散,不一定发散.20将级数的前k项去掉,的部分和为级数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两所得新级数性质3添加、去掉或改变有限项不影响证一个级数的敛散性
5、.21性质4设级数收敛,在此收敛级数内可以任意加(有限个或无限个)括号,①一个级数加括号后所得新级数发散,注则原级数发散.事实上,加括后的级数就应该收敛了.设原来的级数收敛,则根据性质4,收敛发散②一个级数加括号后收敛,原级数敛散性不确定.收敛于原级数的和所得新级数仍要强调的是,收敛级数一般不能去掉无穷多个括号;发散级数一般不能加无穷多个括号.(这个性质也称无穷和的结合律).22性质4收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和数列为原级数部分和数列的一个子数列,因此必有例如证23证此性质是级数收敛的必
6、要条件.设则所以性质5则注(1)此定理常用来判别级数发散;(3)此定理是必要条件而不是充分条件.(2)也可用此定理求或验证极限为“0”的极限;即如调和级数但级数是却是发散的.(后面将给予证明)24例8判别下列级数的敛散性级数收敛的必要条件常用判别级数发散.解题思路25解由于发散解由于发散26解而级数所以这个等比级数发散.由性质1知,发散.因调和级数发散,为公比的等比级数,是以收敛.由性质2知,27练习为收敛级数,a为非零常数,试判别级数的敛散性.解因为收敛,故从而故级数发散.级数收敛的必要条件:28作业（P186)3（2）（4）；4（1）（3）.29
7、常数项级数的基本概念基本审敛法:(3)按基本性质;则级数收敛;由定义,(2)则级数发散;一般项、部分和、收敛、发散及级数的性质三、小结级数收敛的必要条件记住等比级数(几何级数)的收敛性(1)调和级数发散30思考题是非题非非是31
