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1、无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算数项级数幂级数*傅里叶级数第十二章下页常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件*四、柯西审敛原理第一节第十二章下页一、常数项级数的概念引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0表示即内接正三角形面积,表示边数增加时增加的面积,则圆下页转定义→引例2.(神秘的康托尔尘集)把[0,1]区间三等分,舍弃中间的开区间将剩下的两个子区间分别三等分,并舍弃在中间的开区间,如此反复进行这种“弃中”操作,问丢弃部分的总长和剩下部分的总长各是多少？丢弃
2、的各开区间长依次为故丢弃部分总长剩余部分总长剩余部分总长虽然为0,但康托尔证明了其成员和实数“一样多”,它们象尘埃一样散落在[0,1]区间上,人们称其为康托尔尘集.01(此式计算用到后面的例1)下页引例3.小球从1m高处自由落下,每次跳起的高度减问小球是否会在某时刻停止运动?说明道理.由自由落体运动方程知则小球运动的时间为(s)设tk表示第k次小球落地的时间,(此式计算用到后面的例1)少一半,下页定义.给定一个数列将各项依即称上式为(常数项)无穷级数,其中第叫做级数的一般项,级数的前n项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛,则称无穷级数并称S为级数的和,记作下页简称(常数项)级数,n项当
3、级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散.显然下页则称无穷级数收敛,并称S为级数的和,记作例1.讨论公比为q的等比级数(又称几何级数)的敛散性.解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为下页注意:不规范!但已成习惯.2)若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合1),2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.下页例2.判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)发散.技巧:利用“拆项相消”求和下页(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用“拆项相消”求和下页例3.判别级数的敛散性.解法1下页故原级数收敛,其和为下页跳过→
4、例3.判别级数的敛散性.*解法2二、无穷级数的基本性质性质1.若级数收敛于S,则各项乘以常数c所得级数也收敛,证:令则这说明收敛,其和为cS.推论:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为cS.下页性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证:令则这说明级数也收敛,其和为下页说明:(2)若两个级数中一个收敛一个发散,必发散.(3)若两个级数都发散,不一定发散.例如,(1)性质2表明两个收敛级数可逐项相加或相减.(用反证法可证)下页则则性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.证:将级数的前k项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限
5、项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数下页推广:在级数中加上/去掉/修改有限项,不影响级数的敛散性.性质4.收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:设收敛级数若按某一规律加括号,则新级数的部分和序列为原级数部分和序列的一个子序列,推论:若加括号后的级数发散,则原级数必发散.注意:收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例如，用反证法可证例如下页三、级数收敛的必要条件设收敛级数则必有证:可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.下页性质5.注意:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发散.证法1:(P25
6、3)假设调和级数收敛于S,则但矛盾!所以假设不真.下页矛盾!所以假设不真.下页证法2:假设调和级数收敛于S,则由性质4可得例4.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散!从而原级数发散.下页转小结→*例5.判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:解:(1)令则故从而这说明级数(1)发散.下页因进行拆项相消这说明原级数收敛,其和为(2)下页这说明原级数收敛,其和为3.(3)下页的充要条件是*四、柯西审敛原理定理.有证:设所给级数部分和数列为因为所以利用数列的柯西审敛原理(第一章第六节),即得本定理的结论.下页例6.解:有利用柯西审敛原理判别级数下页当n﹥N时,都有由柯西审敛原理可知,级数下页
7、内容小结下页无穷级数的基本性质性质1.若级数收敛于S,则各项乘以常数c所得级数也收敛,即其和为cS.性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.性质4.收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原级数的和.设收敛级数则必有性质5.作业(习题12-1,P254)1(1),(3);2(2),(3),(4);3(2);4(1),(3),(5)结束
