常数项级数概念与性质.ppt

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1、常数项级数概念与性质第九章常数项级数正六边形的面积正十二边形的面积引例用圆内接正多边形的面积逼近圆的面积.这个和逼近于圆的面积A.一、常数项级数的概念(2)物理乒乓球自高度为H的地方落下,每次弹回的高度是前次下落高度的2/3,则乒乓球跳动的时间为1.级数的定义则称表达式为常数项无穷级数，简称常数项级数或级数，给定数列称为级数的通项。记作：（常数项）级数（1）的前n项之和Sn称为级数（1）的部分和部分和也构成一个数列{Sn}易见故n越大误差

2、SSn

3、越小.2.级数的收敛与发散定义(1)若则称收敛,(2)若不存在,则称级数发散.(3

4、)设则称为该级数的余项,记为并称S为该级数的和,无穷级数收敛性举例：Koch雪花.给定一个正三角形，在每条边上对称地产生边长为原边长的1/3的外凸小正三角形．如此反复操作，可以得到了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．第一次分叉：依次类推周长为面积为第次分叉：于是有结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．雪花的面积存在极限（收敛）．例１讨论下列级数的敛散性：(1)等比级数(几何级数)当

5、q

6、>1时，由于不存在，所以不存在解部分和当

7、q

8、<1时，级数发散，级数发散．所以发散.事实上,取取m=2n,则故由柯西收敛准则可知Sn发

9、散.解：(2)调和级数已知级数为等比级数，解：例２由等比级数的敛散性，通项例3考察级数的敛散性。解部分和所以此级数收敛,且和为S=1/2。例4考察级数的敛散性。所以级数发散。解定理1例5解性质1二、收敛级数的基本性质性质2删去或添加有限项不会改变级数的敛散性．乘以非零常数不改变级数的敛散性。例6判定下列级数的敛散性：解级数而是公比为的等比级数,收敛。所以由性质1知级数收敛。解调和级数是发散的，收敛,由反证法及性质1知必发散.解级数是由级数添加这九项后组成的。而是以2为公比的等比级数，发散，所以由性质3知，原级数也发散。性质3(收敛

10、必要条件)注意：（1）如果级数的通项不趋于零,则级数发散;（2）是必要而非充分条件因此级数发散.但级数发散.例7判定下列级数的敛散性：解(1)通项不存在。(2)不满足级数收敛的必要条件,故级数发散。注:(1)发散数列不满足性质4，如1+(11)+…+(11)+…=1,而(1+1)+…+(1+1)+…=0.性质4仍然收敛设级数收敛,则不改变它的各项次序而任意添加括号后构成的新级数且和不变.证明:注意到的部分和数列是数列的子列即可.的部分和(2)收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.级数收敛级数发散去括号后，推论：如果加括

11、号后所成的级数发散,则原来级数也发散.加括号的级数发散，从而原级数发散.解:给原级数加括号:例8判定级数的收敛性:定理（Cauchy收敛原理）证：由数列的Cauchy收敛原理即得．收敛>0,NN+,当n>N时,pN+,有设则例9解:所以级数收敛，习题9.1(P201-202)2(2),3(2),5(1)(2)(5),6,7,8(1)