随机变量的数字特征ppt课件.ppt

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1、勤学好问必有所获第三章随机变量（向量）的数字特征概率论随机变量的数学期望随机变量的方差随机变量的矩与中位数随机变量间的协方差与相关系数在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么，X的全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的.§3.1数学期望（MathematicalExpectation）一、R.V.数学期望的概念1

2、.算术平均数：2.加权平均数：若变量有个取值,却只有个不同的取值且各不同取值的频数为，则由平均数的概念有：称为加权平均数，为取的权重。3、数学期望的定义离散型随机变量Def设离散型随机变量的概率分布为连续型随机变量Def设连续型随机变量的概率密度为，若广义积分注意不是所有的R.V.都有数学期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为但发散它的数学期望不存在!随机变量数学期望所反应的意义随机变量数学期望反映了随机变量所有可能取值的平均，它是随机变量所有可能取值的最好代表。例3.1已知随机变量。求数学期望例3.2已知随机变量。

3、求数学期望例3.3已知随机变量求数学期望例3.4已知随机变量。求数学期望随机变量函数的数学期望1.一元随机变量函数的情况设是随机变量X的函数，离散型连续型该公式的重要性在于:当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.解：因为2.二元随机变量函数的情况离散型连续型例3.7设X与Y相互独立，它们的概率密度函数分别为随机变量数学期望的性质1.设C是常数，则E(C)=C；2.若k是常数，则E(kX)=kE(X)；3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)；4.设X，

4、Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)；请注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立5.若R.V.的取值非负且数学期望存在，则；推论若且数学期望存在,则证明：这里只证明行至3，4，6。特别地若R.V.的数学期望存在且有，则6.若R.V.的数学期望均存在，则这个不等式称作许瓦尔兹（Schwarz）不等式。利用这些性质可以再求数学期望时计算得以化简。例3.9设随机变量X~B(n,p)，求二项分布的数学期望。X~B(n,p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数。解：条件数学期望1.离散型R.V.的条件数学期

5、望设离散型R.V.在条件下的概率函数为，若，则称为R.V.在条件下的条件数学期望，记作：，即同样可给出在条件下的条件数学期望，即2.连续型R.V.的条件数学期望设连续型R.V.在条件下的密度函数为，若，则称为R.V.在条件下的条件数学期望，记作即同样可得R.V.在条件下的条件数学期望，即3.条件数学期望的性质（1）若为常数，则；（2）若且存在，则；（3）若存在，对两常数，则（4）中位数DefR.V.的分布函数为，若存在使得，则称为R.V.的中位数，记作：表示“取值比小的可能性与取值比大的可能性相等”。例3.10R.V.的分布

6、为，求解：由于当时，，所以为上的任意值。例3.11R.V.的分布函数为，求。解：由于所以即数学期望不存在。，即，所以该分布为Cauchy分布，其数学期望不存在，中位数为零。§3.2方差（Variance）数学期望是一种加权平均，与一般的平均值不同，它从本质上反映了R.V.取值的真正平均。但要了解R.V.取值的全貌，仅知道均值是不够的，还应知道R.V.取值的分散程度，即方差。一、方差的定义DefR.V.，若存在，则称其为R.V.的方差，记作：或。即称为R.V.的标准差或均方差，记作：，即若R.V.为离散型，其概率函数为则的方差

7、为：若R.V.为连续型，其密度函数为，则的方差为：为了计算方便，方差还可以表示为如下形式：二、几种常用分布的方差1.二项分布即，求当时，2.泊松分布即，求3.均匀分布即，求三、方差的性质设R.V.的方差均存在，为常数，则方差有如下的性质：1.；2.；3.；4.若R.V.相互独立，则；推论：若为相互独立的R.V.且它们的方差均存在，则5.若，则；6.若R.V.的方差存在，则。例3.13R.V.的密度函数为求解：四、R.V.的标准化R.V.的和均存在，且，则称为R.V.的标准化。标准化后的R.V.的数学期望和方差分别为§3.3协

8、方差与相关系数CovarianceandCorrelationCoefficient一、协方差与相关系数的定义1.问题的提出若R.V.相互独立，则有，若不独立，则协方差3.协方差的计算公式因此，对于具体的离散型和连续型R.V.，其协方差表达式为：注意：协方差与相关系数反映的是同一内容（即R