第4章-随机变量的数字特征ppt课件.ppt

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1、第四章随机变量的数字特征数学期望方差协方差及相关系数矩、协方差矩阵§1数学期望设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：分数4060708090100人数1691572一、数学期望的定义EX则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即定义若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…,且，则称为随机变量X的数学期望。数学期望——描述随机变量取值的平均特征例掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。解：定义若X~f(x),-

2、+0×(1-p)=p；2、二项分布B(n,p)二、几个重要的随机变量的数学期望3、泊松分布π(λ)4、均匀分布U(a,b)5、指数分布e()6、正态分布N(,2)设随机变量X的分布律为解:Y的分布律为求随机变量Y=X2的数学期望。XPk-101YPk10三、随机变量函数的期望EX定理若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…,则Y=g(X)的期望定理若(X,Y)~P{X=xi,Y=yj,}=pij,i,j=1,2,…,则Z=g(X，Y)的期望若X~f(x),-

3、Y)的期望例设随机变量(X,Y)的概率密度求数学期望。例设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(XY)。解:1、E(C)=C,C为常数;四、数学期望的性质2、E(cX)=cE(X),c为常数；3、E(X+Y)=E(X)+E(Y)；证明:以连续型随机变量为例，设(X,Y)~f(x,y)，则4、若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).证明:同样，以连续型随机变量为例，设(X,Y)~f(x,y)，则例设随机变量均服从求随机变量的数学期望解:分布，例若X~B(n,p),求E(X)解:设则因此设某种疾病的发病率为p，在N个人中普查这种疾病,为此要化验每个人的血。方法是，

4、每k个人一组，把从k个人抽来的血混在一起化验，如果混合血样呈阴性，则通过，如果混合血样呈阳性，则再分别化验该组每个人的血样。假设每个人的化验反应相互独立。(1)试说明：当p较小时，相比一个个地验血，选取适当的k可以减少化验次数；(2)求k的最佳值。五、数学期望的应用EX1、在医疗化验方面某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量。他们估计出售一件产品可获利m元，而积压一件产品导致元n的损失。再者,他们预测销售量Y（件）服从参数为θ>0的指数分布，其概率密度为：问若要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品（m,n,θ均已知）？EX2、市场策略方面方差是衡量

5、随机变量取值波动程度的一个数字特征。？如何定义？一、方差的定义§2方差定义若E(X),E(X2)存在，则称E[X-E(X)]2,为随机变量X的方差，记为D(X),或Var(X)。称为随机变量X的标准差。可见推论D(X)=E(X2)-[E(X)]2证明:D(X)=E[X-E(X)]2例设随机变量X的概率密度为(1)求D(X),(2)求D(X2)。解：1、D(C)=0；2、D(aX)=a2D(X),a为常数；证明:二、方差的性质3、特别地，若X，Y独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y);1、二项分布B(n,p)三、几个重要的随机变量的方差设则且2、泊松分布π()而两

6、边对求导得3、均匀分布U(a,b)4、指数分布e()5、正态分布N(,2)例设活塞的直径X~N(22.40,0.032),气缸直径Y~N(22.50,0.042),X与Y相互独立。任取一只活塞和一只气缸，求活塞能装入气缸的概率。例已知随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，且每个Xi的期望都是0，方差都是1，令Y=X1+X2+…+Xn，求E(Y2)。四、切比雪夫不等式定理若随机变量X的期望和方差存在，则对任意0，有这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元

7、的概率小于10%。解:由切比雪夫不等式它有等价形式一、协方差定义若随机变量X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在,则称Cov(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}为X与Y的协方差。特别地，当Cov(X,Y)=0时，称X与Y不相关。？“X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？§3协方差及相关系数易见Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)。设(X,Y)在D={(X,Y)：x2+y21}上服从均匀分布，求证：X与Y不相关，但不是相互独立的。(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,c)=0(3)Cov