第4章随机变量的数字特征、极限定理ppt课件.ppt

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1、第四章随机变量的数字特征、极限定理数学期望方差几种重要分布的数学期望与方差协方差和相关系数矩、协方差矩阵大数定律中心极限定理4.1数学期望一、离散型随机变量的数学期望例4.1甲、乙两射手进行射击训练，已知在100次射击中命中环数与次数记录如下：环数8910次数301060环数8910次数205030甲乙试问如何评定甲、乙射手的技术优劣？甲平均射中的环数为：乙平均射中的环数为：(8×30+9×10+10×60)÷100=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3(环)(8×20+9×50+10×3

2、0)÷100=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1(环)因此从平均射中的环数看，甲的技术优于乙。上述平均环数的计算可表示为我们称之为随机变量X的数学期望，或均值。数学期望——描述随机变量取值的平均特征定义4.1设X是离散型随机变量，其分布律为X~P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n，如果级数绝对收敛，并称级数的和为随机变量X的数学期望，记作则称X的数学期望存在，E(X)，即则称随机变量X的数学期望不存在。注意：随机变量X的数学期望E(X)完全是由X的分布律确定的，而不应受X的可能取值的

3、排列次序的影响，因此要求级数绝对收敛。若级数不绝对收敛，例如，设离散型随机变量X的分布律为X-2-1012Pk1/162/163/162/168/16则X的数学期望为例4.2掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。解X的分布律为X123456Pk1/61/61/61/61/61/6例4.3从一个装有m个白球和n个红球的袋中取球，直到取到白球为止。若每次取出的球仍放回袋中，试求取出红球的数学期望。解设取出的红球数为X，则X的分布律为k=0,1,2,…其中例4.4设X取(k=0,1,2,

4、…)对应的概率为，证明E(X)不存在。证明且但级数发散所以E(X)不存在，但级数(交错级数满足Leibniz条件)(收敛)要注意数学期望的条件：“绝对收敛”。定义4.2设X是连续型随机变量，概率密度函数为f(x),二、连续型随机变量的数学期望若积分绝对收敛，则称X的数学期望存在，且称积分为随机变量X的数学期望，记为E(X)即数学期望简称期望或均值。例4.5设有5个相互独立的元件，其寿命服从参数为θ>0的指数分布，其概率密度为(1)若将5个元件组成一个串联系统，求该系统的平均寿命；(2)若将5个元件

5、组成一个并联系统，求该系统的平均寿命；解(1)设Xk表示第k个元件的寿命，k=1,2,3,4,5，则X1,X2,X3,X4,X5相互独立，且Xk~f(x)，同分布。记Y为串联系统的寿命，则Y=min(X1,X2,X3,X4,X5)，分布函数为密度函数为所以数学期望为(2)记Z为并联系统的寿命，则Z=max(X1,X2,X3,X4,X5)，Z的分布函数为密度函数为所以数学期望为从本例可知：同样5个组件，并联系统的平均寿命是串联系统的平均寿命11.4倍。例4.6设随机变量X服从(-∞

6、E(X)。此分布称为Cauchy分布。解此广义积分发散，因此数学期望E(X)不存在。注意这里三、随机变量函数的数学期望定理4.1设随机变量Y是随机变量X的函数，Y=g(X)(g(•)为连续函数)(1)设X为离散型随机变量，其分布律为P(X=xi)=pi,i=1,2,…若级数绝对收敛，则Y的数学期望存在，且(2)设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，若积分绝对收敛，则Y的数学期望存在，且此定理说明，在求随机变量X的函数Y=g(X)的期望时，不必知道Y的分布而只需知道X的分布即可。推广：设(X,

7、Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y)，g(•,•)是连续函数。(1)设(X,Y)是离散型随机变量，分布律为P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,…则当绝对收敛时，Z的数学期望存在，且(2)设(X,Y)是连续型随机变量，概率密度为f(x,y)，则当绝对收敛时，Z的数学期望存在，且例4.7设随机变量X~B(n,p)，求E(Y)解X~B(n,p)，分布律为其中p+q=1例4.8设二维随机变量(X,Y)具有概率密度设Z=XY，试求Z的数学期望。解O1xy1y=x例4.9设国际市场上每年对我国某

8、种出口商品的需求量是随机变量X(单位吨)，它服从[2000,4000]上的均匀分布。若售出这种商品1吨，可赚3万元，但若销售不出去，则每吨需付仓储费1万元，问该商品应出口多少吨才可使平均收益最大？解由题意可知X的密度函数为设每年出口该商品y吨，(2000≤y≤4000)，则收益可知y=3500时，E(Y)取到最大值，故出口3500吨此商品才可使平均收益最大。1、设C是常数，则E(C)=C;证将C看成是离散型随机变量，分布律P(X=C)=1，则E(C)=C2、设设C是常数，X为随机变