随机变量的数字特征课件.ppt

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1、§22随机变量的数字特征一、离散型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望三、随机变量函数的数学期望四、数学期望的性质五、随机变量的方差六、随机变量的矩与切比雪夫不等式(略)一、离散型随机变量的数学期望引例观察一名射手20次射击的成绩如下当试验次数加大时频率fi的稳定值就是概率pi相应地平均评价射手的射击水平的“平均中靶环数”为一、离散型随机变量的数学期望若离散型随机变量X的概率分布为P{Xxi}pii12则当定义26(数学期望)例29设盒中有5个球其中2个白球3个黑球从中随意抽取

2、3个球记X为抽取到的白球数求EXX的可能取值为012而且根据古典概型计算有解于是离散型随机变量的数学期望解练习1设离散型随机变量X的概率分布律为pkX21012求随机变量X的数学期望提示二、连续型随机变量的数学期望设连续型随机变量X的密度函数f(x)只在有限区间[ab]上取不为零的值把区间[ab]进行分割ax0x1xn1b将X近似地看成是取值为x0x1xn的离散型随机变量此时分析当分点越来越密时近似会越来越好令各小区间长度趋于0则有二、连续型随机变量的数学期

3、望设连续型随机变量X的密度函数f(x)只在有限区间[ab]上取不为零的值把区间[ab]进行分割ax0x1xn1b将X近似地看成是取值为x0x1xn的离散型随机变量此时分析二、连续型随机变量的数学期望定义27(数学期望)若X为连续型随机变量f(x)为其密度函数如果例210设随机变量X的密度函数为求EX解连续型随机变量的数学期望例211设随机变量X的密度函数为求EX解显然EX存在且连续型随机变量的数学期望三、随机变量函数的数学期望定理21例212设X的概率分布如下表

4、求E(XEX)2根据例29EX12于是根据定理21(1)有解036例213设X的密度函数为求E

5、XEX

6、根据例211EX1于是由定理21(2)有解解练习2设圆的直径X在区间[ab]上均匀分布求圆面积四、数学期望的性质性质1对任意常数a有Eaa性质2设a1a2为任意实数g1(x)g2(x)为任意实函数如果Eg1(X)Eg2(X)均存在则E[a1g1(X)a2g2(X)]a1Eg1(X)a2Eg2(X)(223)例214设EXEX2均存在证明E(XEX

7、)2EX2(EX)2(225)EX2(EX)2EX22EXEX(EX)2E[X22XEX(EX)2]E(XEX)2因为(XEX)2X22XEX(EX)2证明于是由(223)得性质3如果EX存在则对任意实数a有E(Xa)EXa(224)说明五、随机变量的方差定义28(方差)设X为一个随机变量其数学期望EX存在如果E(XEX)2也存在则称E(XEX)2为随机变量X的方差记作D(X)或DXXEX称为X的离差一个随机变量的方差粗略地讲反映随机变量偏离数

8、学期望的平均偏离程度五、随机变量的方差定义28(方差)设X为一个随机变量其数学期望EX存在如果E(XEX)2也存在则称E(XEX)2为随机变量X的方差记作D(X)或DX(1)设离散型随机变量X的概率分布为P{Xxi}pii12方差的计算(2)设连续型随机变量X的密度函数为f(x)则(3)计算方差的常用公式为方差的性质设X的方差DX存在a为任意常数则(1)Da0(229)(2)D(Xa)DX(230)(3)D(aX)a2DX(231)例215设X的概率分布如下表

9、已知EX12求DXDXEX2(EX)2解18(12)2036例216设X的密度函数为已知EX1求DX解因为EX1且从而例217X为一随机变量方差存在令l(C)E(XC)2(232)证明当且仅当CEX时l(C)达到最小值此时最小值为DX显然当且仅当CEX时最后一个不等式的等号成立故l(C)在CEX时达到最小值且最小值为DX证明l(C)E(XC)2E[(XEX)(EXC)]2E[(XEX)22(XEX)(EXC)(EXC)2]E

10、(XEX)2(EXC)2E(XEX)2DX