概率22_随机变量的数字特征ppt课件.ppt

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1、§2.4随机变量的数字特征每个随机变量都有一个分布（分布列、密度函数或分布函数），不同的随机变量可能有不同的分布，也可能有相同的分布。分布全面的描述了随机变量取值的统计规律性，由分布可以算出有关随机变量的概率。除此之外有分布还可以算的相应随机变量的均值、方差、分位数等特征数，这些特征数从各个侧面描述分布的特征。2.4山西大学数学科学学院1第二章随机变量§2.4随机变量的数字特征【一】随机变量的数学期望(Mean)1、离散型定义：设离散型随机变量X的概率分布为若级数绝对收敛,即则称为随机变量X的数学期望(或均值)，记作E(X)。即山西大学数学科学学院2第二章随机变量§2.4随机变量的数字特征随

2、机变量的数学期望(Mean)2、连续型定义：设连续型随机变量X的密度函数为，若绝对收敛，即，则称为随机变量X的数学期望(或均值)，记作E(X)。即山西大学数学科学学院3第二章随机变量§2.4随机变量的数字特征数学期望的性质：①C为常数，则E(C)=C②C为常数，E(C*X)=C*E(X)③E(X+Y)=E(X)+E(Y)④设X,Y相互独立，则E(X*Y)=E(X)*E(Y)说明：在离散情形下，数学期望是随机变量取值的加权平均值，每个值所对应的“权”就是其出现的概率，这个结果比算术平均更能合理预测随机变量的可能取值，这也就是“期望”这个名称的由来。山西大学数学科学学院4第二章随机变量§2.4随

3、机变量的数字特征【二】随机变量的方差(Variance)1、离散型定义设离散型随机变量X的概率分布为若级数则称此级数的和为X的方差,记作D(X),即2、连续型定义设连续型随机变量X的分布密度函数为p(x),若则称此无穷积分值为X的方差,记作D(X),即山西大学数学科学学院5第二章随机变量§2.4随机变量的数字特征方差(Variance)统一定义：Def：称为随机变量X的方差，而称为标准差或均方差(meansquareerror，MSE)。计算方差的常用公式说明：D(X)=0，表示X以概率1取常数值，此时X已不是随机变量了。山西大学数学科学学院6第二章随机变量§2.4随机变量的数字特征方差的性

4、质：①常数的方差为0；②D(C*X)=C2*D(X),其中C为常数;③若X，Y相互独立，则。一个重要的结论——方差是所有偏差中最小的。设函数，则当x=E(X)时，f(x)达到最小值。山西大学数学科学学院7第二章随机变量§2.4随机变量的数字特征说明：方差和标准差的功能相识，都是用来描述随机变量取值的集中与分散程度（即散布范围大小）的两个特征数，方差与标准差愈小，随机变量的取值愈集中；方差与标准差愈大，随机变量的取值愈分散。方差与标准差之间的主要差别在量纲上，由于标准差与所讨论的随机变量、数学期望有相同的量纲，所以实际中，人们比较乐意选用标准差，但标准差的计算必须通过方差才能得出。山西大学数学

5、科学学院8第二章随机变量§2.4随机变量的数字特征常见随机变量期望和方差的计算(1)0-1分布设XB(1,p)，则(2)二项分布设XB(n,p)，则山西大学数学科学学院9第二章随机变量§2.4随机变量的数字特征(3)泊松分布设XP(),则山西大学数学科学学院10第二章随机变量§2.4随机变量的数字特征(4)均匀分布设XU(a,b),则(5)指数分布设XE(),则山西大学数学科学学院11第二章随机变量§2.4随机变量的数字特征(6)正态分布设XN(,2),则山西大学数学科学学院12第二章随机变量§2.4随机变量的数字特征常见分布的期望和方差表：MeanVariance两点分

6、布b(1,p)pp*q二项分布B(n,p)n*pn*p*q泊松分布P()均匀分布U(a,b)(a+b)/2(b-a)2/12正态分布N(,2)2指数分布E()1/1/2山西大学数学科学学院13第二章随机变量§2.4随机变量的数字特征一般变量的标准化或无量钢化：为便于比较不同单位或不同量级的数据，常需要将其标准化或无量钢化。若随机变量X有E(X)=，D(X)=，则有E(X*)=0，D(X*)=1。事实上，山西大学数学科学学院14第二章随机变量§2.4随机变量的数字特征【三】矩的概念：设随机变量X，Y，正整数k，l，称E(Xk)为X的k阶原点矩，简称k阶矩；E{[X-E(x)

7、]k}为X的k阶中心矩；E(

8、X

9、k)为X的k阶绝对原点矩；E(

10、X-E(X)

11、k)为X的k阶绝对中心矩；E[X-E(X)]k[Y-E(Y)]l为X、Y的k+l阶混合中心矩。易知，一阶原点矩是期望，二阶中心矩是方差。山西大学数学科学学院15第二章随机变量§2.4随机变量的数字特征若记则k阶原点矩和k阶中心距之间有一个简单的关系：山西大学数学科学学院16第二章随机变量§2.4随机变量的数字特征【四】变异系数设随