随机变量的数字特征讲解课件.ppt

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1、§4.1数学期望§4.2方差§4.3协方差及相关系数§4.4矩、协方差矩阵§4.5条件期望§4.6小结第四章随机变量的数字特征§4.1数学期望分赌本问题(17世纪)甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元.无平局，谁先赢3局，则获全部赌注.当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博.问如何分赌本?两种分法1.按已赌局数分：则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/32.按已赌局数和再赌下去的“期望”分：因为再赌两局必分胜负，共四种情况：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/44.1.1数学期望的概念若按已赌局数和再

2、赌下去的“期望”分，则甲的所得X是一个可能取值为0或100的随机变量，其分布律为：X0100P1/43/4甲的“期望”所得是：01/4+1003/4=75.4.1.2数学期望的定义定义4.1.1设离散随机变量X的分布律为P(X=xn)=pn,n=1,2,...若级数绝对收敛，则称该级数为X的数学期望，记为连续随机变量的数学期望定义4.1.2设连续随机变量X的概率密度为f(x),若积分绝对收敛，则称该积分为X的数学期望，又称为均值，记为例4.1.1则E(X)=1×0.2+0×0.1+1×0.4+2×0.3=0.8.X

3、1012P0.20.10.40.3数学期望简称为期望.数学期望是一种加权平均.权便是其分布律或概率密度；数学期望又称为均值.注意点4.1.3数学期望的性质定理4.1.1设Y=g(X)是随机变量X的函数，若E(g(X))存在，则多变量函数的数学期望推论设Z=g(X,Y)是随机变量X与Y的函数，若E(g(X,Y))存在，则例4.1.2设随机变量X的概率分布律为求E(X2+2).=(02+2)×1/2+(12+2)×1/4+(22+2)×1/4=1+3/4+6/4=13/4解:E(X2+2)X012P1/21/41/4数学期

4、望的性质(1)E(c)=c(2)E(aX)=aE(X)(3)E(g1(X)+g2(X))=E(g1(X))+E(g2(X))(5)E(XY)=E(X)E(Y)，如果X与Y是独立的；(4)E(X+Y)=E(X)+E(Y)例4.1.3设X~求下列X的函数的数学期望.(1)2X1,(2)(X2)2解:(1)E(2X1)=1/3,(2)E(X2)2=11/6.§4.2方差数学期望反映了X取值的中心.方差反映了X取值的离散程度.4.2.1方差与标准差的定义定义4.2.1若E(XE(X))2存在，则称E(XE(X))2为

5、X的方差，记为Var(X)=D(X)=E(XE(X))2(2)称注意点X=(X)=(1)方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度.方差越大,则随机变量的取值越分散.为X的标准差.标准差的量纲与随机变量的量纲相同.4.2.2方差的性质(1)Var(c)=0.性质4.2.1(3)Var(aX+b)=a2Var(X).性质4.2.3(2)Var(X)=E(X2)[E(X)]2.性质4.2.2(4)Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(Y))}性质4.2.4随机变量的标准化设Var(

6、X)>0,令则有E(Y)=0,Var(Y)=1.称Y为X的标准化.例4.2.1设X~,求E(X),Var(X).解:(1)E(X)==1(2)E(X2)==7/6所以,Var(X)=E(X2)[E(X)2]=7/61=1/6练习1设则方差Var(X)=()。问题：Var(X)=1/6,为什么？练习2X与Y独立，Var(X)=6，Var(Y)=3，则Var(2XY)=().27练习3X~P(2)，Y~N(2,4)，X与Y独立，则E(XY)=();E(XY)2=().4224.2.3切比雪夫不等式设随机变量X的方

7、差存在(这时均值也存在),则对任意正数ε，有下面不等式成立例4.2.2设X~证明证明:E(X)==n+1E(X2)==(n+1)(n+2)所以,Var(X)=E(X2)E2(X)=n+1,(这里,=n+1)由此得定理4.2.2Var(X)=0P(X=a)=1E(X-E(X))2=0X=E(X)＝a,对所有的X常用离散分布的方差0-1分布的方差=p(1p)二项分布b(n,p)的方差=np(1p)泊松分布P()的方差=几何分布Ge(p)的方差=(1p)/p2常用连续分布的数学期望均匀分布U(a,b):E(X)=

8、(a+b)/2指数分布Exp():E(X)=1/正态分布N(,2):E(X)=伽玛分布Ga(,):E(X)=/贝塔分布Be(a,b):E(X)=a/(a+b)常用连续分布的方差均匀分布U(a,b)的方差=(ba)2/12指数分布Exp()的方差=1/2正态分布N(,2)的方差=2例4.2