随机变量的数字特征ppt课件.ppt

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1、第四章随机变量的数字特征§4.1数学期望2§4.1数学期望布莱士·帕斯卡两个赌徒甲、乙向他提出了一个问题：甲乙两个人赌博，两人获胜的机率相等，约定谁先赢满5局，谁就获得100法郎。甲赢了4局，乙赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分？甲的期望所得值就是0×0.25+100×0.75=75乙的期望所得值就是0×0.75+100×0.25=25一、数学期望的由来设X为甲获得的法郎，Y为乙获得的法郎3§4.1数学期望二、离散型随机变量的数学期望定义：设离散型随机变量X的分布律为P(X

2、=xk)=pk,k=1,2,…若级数绝对收敛，则称级数为随机变量X的数学期望，记为E(X),即4§4.1数学期望关于定义的几点说明(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的算术平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值,也称均值.(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.5§4.1数学期望例1：设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器时，从这10

3、个中任取1个，若是废品，扔掉后重取1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望。解：X的分布律为：6§4.1数学期望例2：某车站每天8:00—9:00,9:00—10:00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立。其规律为一旅客8:20到车站，求他候车时间的数学期望。8:108:308:50到站时刻9:109:309:50概率7§4.1数学期望例3：8§4.1数学期望三、连续型随机变量的数学期望9§4.1数学期望例4：10例5：设X的概率密度为求解：§4.1数学期望11§4.1数

4、学期望几种重要分布的数学期望12§4.1数学期望四、随机变量函数的数学期望1.离散型随机变量函数的数学期望若Y=g(X),且则有13§4.1数学期望例6设X-2020.40.30.3P则E(X)=-2×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2E(X2)=(-2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8E(3X2+5)=3E(X2)+5=13.4（思考）14§4.1数学期望2.连续型随机变量函数的数学期望若X是连续型r.v,其密度为f(x),则g(X)的期望为15例7：§4.1数学期望16§4.1数学

5、期望1.设C是常数,则有证明2.设X是一个随机变量,C是常数,则有证明例如五、数学期望的性质17§4.1数学期望4.设X,Y是相互独立的随机变量,则有3.设X,Y是两个随机变量,则有一般地，E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)18数学期望是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值.2.数学期望的性质§4.1数学期望六、小结19§4.2方差20§4.2方差现有两批灯泡，第一批灯泡寿命为:一半约950小时,另一半约1050小时,平均寿命为1

6、000小时;第二批灯泡寿命为一半约1300小时,另一半约700小时,平均寿命为1000小时。问题：哪批灯泡的质量更好？(质量更稳定)单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡寿命X与均值1000小时的偏离程度。21§4.2方差一、方差的定义1、方差是一个特殊的函数g(X)=[X-E(X)]2的期望；2、方差用来度量随机变量与其数学期望（即均值）的偏离程度。22§4.2方差离散型随机变量的方差连续型随机变量的方差二、方差的计算(1)利用定义计算23§4.2方差证明(2)利用公式计算24§4.2方差证明三、

7、方差的性质(1)设C是常数,则有(2)设X是一个随机变量,C是常数,则有证明25§4.2方差(3)设X,Y相互独立,D(X),D(Y)存在,则证明注：相互独立时，乘积的期望等于期望的乘积。26§4.2方差综上：设X,Y相互独立,E(X),E(Y),D(X),D(Y)存在,a,b,c是常数,则注意：对任意的随机变量X、Y都有E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)27例1：设随机变量X具有0-1分布，其分布律为：解：§4.2方差28§4.2方差例2：解：29§4.2方差解例3：30§4.2方差解例4：于是3

8、1§4.2方差解例5：32§4.2方差33分　　布参数数学期望方差两点分布二项分布泊松分布均匀分布指数分布正态分布§4.2方差34§4.2方差35§4.2方差契比雪夫不等式36§4.2方差四、小结1.方差是一个常用来体现随机变量X取值分散程度的量.2.方差的计算公式37