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1、§7.1随机事件§7.2事件的概率及概率的加法公式§7.3概率的乘法公式与事件的独立性学习目标教学建议第七章概率的基本知识及其应用§7.4随机变量与离散型随机变量§7.5连续型随机变量§7.6随机变量的数字特征一.数学期望(均值)§7.6随机变量的数字特征二.方差三.常见分布的期望和方差引言随机变量的分布能完整地描述随机变量的概率性质,但一般情况下随机变量的分布比较难以得到.比如,可用某个学生多次考试的平均分数和与全班平均分数的偏离程度来代表该生的学习成绩.在许多实际问题中,我们往往并不需要知道有关随机变量分布的完整信息,只要知道它的某些特征就够了.
2、常把描述随机变量取值的“平均数”和“偏离程度”等这样的一些量叫做随机变量的数字特征.甲、乙两个学生10次数学考试的情况如下表案例1甲乙成绩次数学生试问哪个学生数学成绩好些？708090355223708090甲253乙325成绩次数学生甲学生的平均成绩案例1分析不能单看某一次成绩,要比平均成绩!乙学生的平均成绩82>81乙学生成绩好些!一.数学期望(均值)甲学生的平均成绩乙学生的平均成绩这是甲学生的成绩与其相应的概率乘积之和这是乙学生的成绩与其相应的概率乘积之和案例1分析(续)则即,若离散型随机变量的分布列为数学期望定义7.8离散型随机变量的所有可能
3、取值数学期望是一个确定的常量,它是的所有可能取值与各自的相应概率为权(即占的比重)的加权平均值.……与其相应的概率乘积之和,称为随机变量的数学期望,记作则例如若离散型随机变量的分布列为210练习1解设表示保险公司对每个被保险人赔偿的钱数(元),则的分布列为的数学期望为(元)100000元的概率为0.001,赔偿10000元的概率为0.005,赔偿5000元的概率为0.05,赔偿1000元的概率为0.1,若不计其他费用,保险公司预期平均从每个被保人身上盈利100元,试问每年应向每个被保险人收取保险费多少元?保险公司对机动车进行保险.设已知每年对保险人赔
4、偿100001000005000100000.0010.0050.050.10.844保险公司平均对每个被保险人赔偿的钱数(元)由于保险公司预期平均从每个被保人身上盈利100元,所以每年应向每个被保险人收取保险费为:(元)练习1100000元的概率为0.001,赔偿10000元的概率为0.005,赔偿5000元的概率为0.05,赔偿1000元的概率为0.1,若不计其他费用,保险公司预期平均从每个被保人身上盈利100元,试问每年应向每个被保险人收取保险费多少元?保险公司对机动车进行保险.设已知每年对保险人赔偿(续)对于连续型随机变量,则用随机变量的取值
5、与其密度函数乘积之反常积分,即来定义随机变量的数学期望.即若为连续型随机变量,则连续型随机变量的数学期望已知随机变量的密度函数为练习2其它.求的数学期望解二.方差有甲、乙两显像管厂生产同一种规格的显像管,案例2试比较甲、乙两厂显像管的质量.其使用寿命(h)的概率分布如下(表示甲厂生产的显像管的使用寿命,表示乙厂生产的显像管的使用寿命):由案例1知,可通过求数学期望,即求甲、乙两厂显像管的平均使用寿命来比较甲、乙两厂显像管的质量:案例2分析案例2分析(续)结果表明,甲、乙两厂显像管的平均使用寿命的相等.那么这两个厂显像管的质量是否完全相同?使用寿命与均
6、值偏离较小,质量比较稳定案例2分析(续)寿命在9000---11000h占80%寿命在9000---11000h占60%使用寿命与均值偏离较大,质量不够稳定称随机变量与其均值之差但离差有正有负.为的离差.方差的算术平方根方差定义7.9随机变量离差平方的数学期望,的附近时,方差较小,否则,方差较大.即方差越小,说明随机变量附近,对产品质量而言,产品的质量越的所有可能取值密集在其均值均值的偏离程度.当的取值越集中于由方差的定义知,方差是一个正数,它反映了随机变量与其稳定.记作称为的方差.即称为的均方差或标准差.则若离散型随机变量的分布列为:方差的计算离散
7、型……方差的计算若连续型随机变量的密度函数是则的方差为连续型此公式对离散型随机变量也成立展开求案例2的方差练习2解类似地,可求得由于由于所以该结论与上述分析结果一致.所以甲厂显像管的质量比乙厂稳定.二.方差数学期望(均值)刻画了随机变量平均取值状况,而方差则描述了随机变量取值的分散程度,这两个量反映了随机变量重要的概率特征,称为随机变量的数字特征.取值在其中心附近离散程度的一个数字特征.变量取值的平均水平,是随机变量的一个重要的数字特征.通过方差,可以判断均值相同的随机变量的取值情况.它是刻划随机变量它反映了随机练习3解试比较下列两项目的投资风险.经
8、济情况繁荣正常衰退概率A项目预期报酬率B项目预期报酬率0.30.40.390%15%-60%15%20%10
