随机变量的数字特征.ppt

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1、第三章随机变量的数字特征在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量x的概率分布，那么x的全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了在这些数字特征中，最常用的是期望和方差291§3.1随机变量的数学期望和方差（一）离散型随机变量的数学期望和方差(1)例设射击选手甲与乙在同样条件下进行射击其命中环数是随机变量，分布表如下：00.050.050.10.10.20.5P056789100.20.20.20.10.10.10.1P0

2、5678910问:如何评价甲和乙的技术?29210987650P0.50.20.10.10.050.050解:(1)给甲100发子弹则甲命中总环数大约为:平均每发命中环数估计为:同理:293(2)评价：因为这种反映随机变量取值平均的值恰好为随机变量的一切可能取值与相应概率乘积的和从平均命中环数看，甲的水平高于乙(3)继续分析:对于甲，乙技术水平，除了上述从平均角度外还可以从命中环数的集中或离散程度角度考虑：29410987650P0.50.20.10.10.050.050偏离值10-8.859-8.85…5-8.850-8.85偏离值的平方…概率P0.50.

3、2…0.050请看下表：按平均值的想法,射击选手甲的平方偏差的平均值为：同理295(4)评价：因为从平方偏离值的平均值看：甲优于乙296(A)设随机变量x概率分布表为---pk---p2p1P---xk---x2x1x记称Ex为x的数学期望或均值(2)定义：297例1设x概率分布表为x123P0.30.40.3求E(x)解解例2设x概率分布表为求E(x)Px0.550.30.21-1298(B)设随机变量x概率分布表为---pk---p2p1P---xk---x2x1x称Dξ为ξ的方差299例3设x概率分布表为x012P0.20.40.4求E(x)D(x)解

4、2910例4设x概率分布表为x01P1-pp求E(x)D(x)解2911定义:设连续型随机变量x概率密度函数为(1)称为x的期望(2)称为x的方差(C)连续型随机变量的期望和方差定义2912例5已知连续型r.vx的概率密度为：求E(x)D(x)解2913(三)、随机变量函数的数学期望1.问题的提出：设已知随机变量x的分布，我们需要计算的不是x的期望，而是x的某个函数的期望，比如说g(x)的期望.那么应该如何计算呢？2914（三）随机变量的函数的期望例给定0.50.20.3p321ξ求的期望1490.30.20.5p解(1)求出的分布表(2)备注：这种方法必须

5、先求出随机变量函数的分布实际上第一步是不必要的2915---pk---p2p1P---xk---x2x1x则定理1设随机变量x概率分布表为Eη=Ef(x)=p1f(x1）+p2f(x2)+…+pkf(xk）+…2916定理2设随机变量x的概率密度为则η=g(x)的期望为内容相同2917例设随机变量x的概率密度为则2918方差的简便计算公式定理3Dx=Ex2-(Ex)2此定理以后再证明2919例1设x概率分布表为x015P0.20.70.1求E(x)E(x2)D(x)E(1+x)E(sinx)解2920例2设x概率分布表为x-112P0.30.50.2求E(x

6、)E(x2)D(x)解2921例2设x概率分布表为x-112P0.30.50.2求E(x)E(x2)D(x)解2922例3已知连续型r.vx的概率密度为：求E(2x+1)解012923例4已知连续型r.vx的概率密度为：求E(x)E(x2)D(x)解142924例5已知连续型r.vx的概率密度为：求E(x)E(x2)D(x)解012925例6已知连续型r.vx的概率密度为：求(1)E(x)E(x2)D(x)解=02926定理3设二元离散型随机变量（x,h）联合概率函数为z=g(x,y)是二元连续实函数，则（x,h）的函数Z=g(x,h)的数学期望Ez1292

7、7例3设二元随机变量（x,h）的联合概率分布表为xh12-10.30.400.10.2求E(xh)解：2928定理4设二元连续型随机变量（x,h）联合概率密度函数为j(x,y)z=g(x,y)是二元连续实函数如果广义二重积分则（x,h）的函数Z=g(x,h)的数学期望为Eg(x,h)特别绝对收敛，12929例4设二元随机变量（x,h）的联合概率密度为求E(x+h)解：112930将g(X)特殊化，可得到各种数字特征:其中k是正整数.2931(三）数学期望的性质(1)E(kx+c)=kEx+c证明：不妨假定为连续型随机变量，其密度为φ(x)则由定理2有(A)E

8、(c)=c(B)E(x+c)=Ex+c(C)E(kx