随机变量及其分布和随机变量的数字特征.ppt

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1、第三节随机变量及其分布和随机变量的数字特征概念（随机变量、概率分布、分布函数）离散型随机变量及其分布律连续型随机变量及其概率密度概念（数学期望（均值）、方差、相关系数、矩）在概率的研究中为什么需要引入随机变量？为了便于数学推理和计算，有必要将随机试验的结果数量化，使得可以用高等数学课程中的理论与方法来研究随机试验，研究和分析其结果的规律性，因此，随机变量是研究随机试验的重要而有效的工具。引入随机变量后，随机试验中的任一随机事件就可以通过随机变量的取值关系式表达出来，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.事件及事件概率

2、随机变量及其取值规律如何引入随机变量的概念？一般地，如果A为某个随机事件，则可以通过如下函数使它与数值发生联系：如果A发生如果A不发生这些例子中，试验的结果能用一个数x来表示，这个数x是随着试验的结果的不同而变化的，也即它是样本点的一个函数，这种量就称为随机变量。这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值单值函数..x.RX()定义2.1对于随机试验E的每一个可能结果ω∈Ω，都有唯一的一个实数值X(ω)相对应，称X(ω)为随机变量，简记为X.随机变量(RandomVariable)的概念在试验之前只知道x可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值.它的取值与试验

3、结果形成对应，(1)随机变量X是定义在样本空间上的实值函数，(2)由于试验结果的出现具有一定的概率，X的取值情况它取值的概率的分布情况.随着实验结果的不同而取不同的值，所以随机变量取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.随机变量的取值既具有可变性，也有随机性。这种双重性正是随机变量与普通变量(函数)的本质区别。而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z,w,n等.随机变量通常用大写字母X,Y,Z,W,N，…，或希腊字母,η,ζ,…，等表示我们将研究两类随机变量：随机变量离散型随机变量连续型随机变量随机变量的分类例:观察投掷一个骰子出现的点数.随机

4、变量X的可能值是:1,2,3,4,5,6.123456例:随机变量X为“灯泡的寿命”.则X的取值范围为0其中(k=1,2,…)满足：k=1,2,…（1）（2）定义2.3设xk(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称为离散型随机变量X的概率分布，或称为分布列.定义2.2：某些随机变量X的所有可能取值是有限多个或可数多个,这种随机变量称为离散型随机变量.离散型随机变量表示方法（1）公式法（2）列表法XPPPP我们研究的对象是的概率如何入手将概率问题转化为实变量的函数形式？(X=x),(Xx),(X>x),(x1Xx2),…我们研究的对象是随机事件的

5、概率随机变量的取值或取值范围由此引进了分布函数的概念：能否选用一个事件将所有事件都表达出来？(Xx)A(Xx)X()P()PP离散型随机变量的分布函数定义2.4ProbabilityandStatistics分布函数的性质3)F(x)是一个右连续函数，即ProbabilityandStatistics证明重要公式ProbabilityandStatistics解例（1）求X的分布函数F(x)，并画出它的图形（2）求概率离散型（1）的分布函数图（2）设离散型X的分布律是P{X=xk}=pk,k=1,2,3,…F(x)=P(Xx)=即F(x)是X取的诸值xk的概率

6、之和.一般地则其分布函数常见一维离散型随机变量的概率分布1°n重伯努利(Bernoulli)试验、二项分布2°泊松分布伯努利试验设试验E只有两个可能结果：A及，则称E为伯努利(Bernoulli)试验。设P(A)＝p(0

7、它有广泛的应用，是研究最多的模型之一。n重伯努利试验考虑n重伯努里试验中，事件A恰出现k次的概率。以X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，X是一个随机变量，我们来求它的分布律。X所有可能取的值为0，1，2，…，n．由于各次试验是相互独立的，故在n次试验中，事件A发生k次的概率为伯努利试验与二项分布伯努利试验与二项分布从图中可以看出，对于固定的n及p，当k增加时，b(k;n,p)也随之增加并达到某极大值，以后又下降。此外，当概率p越与1/2接近时，分布越接近对称。例：某人进行射击，设每次射击的命中率为0．02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率。解：将一次