随机变量的分布与数字特征上课讲义.ppt

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1、随机变量的分布与数字特征一、随机变量的概念在一些随机试验中，试验的结果本身就是由数量来表示另一些随机试验中，可根据问题的需要对每一个可能结果指定一个数量，如抛掷硬币。共同点：对每一个可能结果，有唯一一个实数与之对应。一、随机变量的概念定义21(随机变量)定义在概率空间(P)上取值为实数的函数XX()()称为(P)上的一个随机变量（randomvariable)rv.X在掷骰子的实验中其出现的点数记为随机变量X则X作为样本空间{123456}上的函数定义为X()随机变量举例一、随机变量的概念定义

2、21(随机变量)定义在概率空间(P)上取值为实数的函数XX()()称为(P)上的一个随机变量（randomvariable）rv.X在投掷一枚硬币进行打赌时出现正面时投掷者赢一元钱出现反面时输一元钱记赢钱数为随机变量X则X作为样本空间{正面反面}上的函数定义为随机变量举例注：（1）随机变量通常用大写字母X,Y,Z,…或小写希腊字母,η,ζ,….等表示.（2）随机变量的特点定义域样本空间随机性r.v.X的可能取值不止一个,试验前只能预知它的可能取值，但不能预知取哪个值概率特性X以一定的概率取某个值可用r.v.取值

3、的等式或不等式表示随机事件（3）随机变量的取值表示事件------由r.v.X生成的事件（4）在同一个样本空间可以同时定义多个r.v.随机变量的分类离散型(D.r.v.)非离散型(N.D.r.v.)其中一种重要的类型为连续性r.v.(C.r.v.)引入r.v.重要意义◇随机现象可被r.v.描述◇借助微积分方法讨论解决问题二、离散型随机变量的概率分布定义22(离散型随机变量)设X是定义在概率空间(P)上的一个随机变量如果X的全部可能取值只有有限个或可数无穷多个则称X是一个离散型随机变量设X是离散型随机变量其全部可能取值为{xii12

4、}记p(xi)P{Xxi},i1,2,(21)则称{p(xi)i12}为X的概率分布有时也将p(xi)记为pi用下列表格形式来表示并称之为X的概率分布表定义23(概率分布)概率分布的性质任何一个离散型随机变量的概率分布{p(xi)}必然满足下列性质1p(xi)0i12(22)例21投掷一枚均匀硬币设X为一次投掷中出现正面的次数即于是X的概率分布为解(1)由于(2)由于例22设离散型随机变量X的概率分布为分别求上述各式中的常数a例23设X的概率分布为求P{X1}P{

5、X1}P{X2}P{X25}P{X3}P{X4}解P{X1}P{X3}P{X4}P{X1}P{X2}P{X3}1P{X1}P{X2}P{X3}10练习：3、设随机变量X的概率分布为则a______解由P{Xk}0知a0又由而左边为从而有a1三、分布函数为了对随机变量r.v.（randomvariable）取值的统计规律性给出一种统一的描述方法，下面引进分布函数的概念.1.某类随机变量的非可数个取值无法一一列举出来2.取连续值的随机变量，它取某个特定值的概率往往为0说明三、

6、分布函数定义24(分布函数)设X是一随机变量则称函数F(x)P{Xx}x()(29)为随机变量X的分布函数记作X~F(x)分布函数的性质随机变量的分布函数必然满足下列性质若x1x2则F(x1)F(x2)(1)单调性(3)右连续性F(x0)F(x)若函数Fx)满足上述三条性质则它一定是某个随机变量X的分布函数说明三、分布函数定义24(分布函数)设X是一随机变量则称函数F(x)P{Xx}x()(29)为随机变量X的分布函数记作X~F(x)分布函数的性质随机变量的分布函数必然满足下

7、列性质若x1x2则F(x1)F(x2)(1)单调性(3)右连续性F(x0)F(x)因此通常将满足上述三条性质的函数都称为分布函数注:(1)F(x)是实轴上的一个普通实值函数，它具良好的性质。(2)分布函数的作用（]ab]]（]因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述.请填空补充例1：F(x)P{Xx}例2.4等可能地在数轴上的有界区间[ab]上投点记X为落点的位置数轴上的坐标已知当(cd][ab]时有求随机变量X的分布函数解当xb时F(x)P{Xx}0当xa时当a

8、xb时F(x)P{Xx}综上可得X的分布函数为解(A)A1P{X1}0P