第2章_随机变量的概率分布与数字特征.ppt

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1、第二章随机变量的概率分布与数字特征第一节离散型随机变量及其概率分布第二节连续型随机变量及其概率分布第三节随机变量的数字特征第四节三种重要分布的渐近关系第五节大数定律及中心极限定理一、随机变量的概念在第一章，我们介绍了随机事件及其概率，可以看到很多事件都可采取数值标识。如抽检产品时出现的废品个数；掷骰子出现的点数等。对那些非数值标识的事件，实际上也可人为地加以数值标识。例如，对新生儿的性别，可用0表示女，1表示男；对生化检验的结果，可用0表示阴性，1表示阳性；对生产的产品，可用2表示优质品，1表示次品，0表

2、示废品等。因此，随机试验的结果可用一个变量来表示，这种随试验结果不同取不同数值的变量称为随机变量。二、离散型随机变量及其概率分布1、定义：按一定概率取有限个或可列个值的随机变量，称为离散型随机变量。设X所有可能取值为（i=1,2,…)称为离散型随机变量X的概率函数或分布律。也可用表格来表示（称为概率分布表或分布列）2、概率函数(分布律)X性质：（1）（2）（i=1,2,…）例设随机变量X的分布律为（k=1,2,3,4,5),求:(1)P(X=1或X=2）(2)解（1）P(X=1或X=2）=P（X=1）+P(

3、X=2)=1/15+2/15=1/5（2）=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1/15+2/15+3/15=2/5三、离散型变量的几种常见分布1、伯努利概型试验只有两种可能结果：A及，把这个试验独立重复n次，就构成了n重伯努利试验，简称伯努利试验。设P（A）=p=1－p=q（其中0

4、放回抽取5次，求抽到白球3次的概率；（2）作无放回抽取5次，求抽到白球3次的概率。解治5例病人，看成做5次独立的试验。每次试验只有A={治愈}和={未治愈}两个结果。且P(A)=p则这个试验是5重的伯努利试验设B={治愈3例}={A出现3次}所以解（1）有放回抽球，可看成每次试验是独立的，属于伯努利试验，令A={抽到白球}且P（A）=2/3故（2）无放回抽球，说明每次试验间不独立，因此不属伯努利试验，应看成古典概型。无放回抽5次，可看成一次抽5个球，由古典公式得2、二项分布（1）若随机变量X的概率函数为（k

5、=0,1,…n)，q=1-p(2)性质则称X服从二项分布,记为由于各概率函数值正好是二项式展开式中的对应各项,故名二项分布。例3设，求P（X=4）,P(20.5时，不能直接查表但可以转化为其对立事件的概率计算。设X代表A出现次数，Y代表出现次数，则X+Y=n且例4X~B（10，0.7)，求解（3）二项分布的最可能值：使P（X=k)取最大值的k值。即n重伯努利试验中

6、事件A最可能出现的次数。结论：若(n+1)p为整数，则和若(n+1)p为非整数，则例5有10%的人对某药有肠道反应，为考察此药的质量，现随机选5人服用此药，试求：（1）其中k(k=0,1,…,5)个人有反应的概率；（2）不多于2人有反应的概率；（3）有人有反应的概率。解：随机选5人服药，各人间对药物的反应具有独立性，且每人服药后有反应的概率均为视为0.1，这相当于做5次独立重复试验，即p=0.1,n=5的伯努利试验。因而反应的人数X~B（5，0.1)（1）k个人有反应的概率为(k=0,1,…,5)概率分布表

7、如下X012345P(X=k)0.590490.328050.072900.008100.000450.00001(2)不多于2人有反应的概率为=0.9045+0.32805+0.0729=0.99144(3)有人有反应的概率为3、泊松分布(稀有事件模型)在很多实际问题中，n重伯努利试验中的n往往很大，p很小，则试验结果A出现的次数X，可看成泊松分布。正是因为结果A在n次试验中出现的次数非常少，故A可看作稀有事件。（k=0,1,2….)其中参数（1）概率函数（2）性质服从泊松分布的随机变量在实际中是很多的，

8、例如三胞胎出生次数，癌症发病人数，放射的粒子个数，特大洪水发生的年数，抽检大量产品中出现次品的件数，等等。（3）泊松定理在n重伯努利试验中，事件A在一次试验中出现的概率为p。若，np也较小，则令=np有（k=0,1,2,…)从定理也可看出，事件A发生的次数X若服从参数为的泊松分布，则表示A在大量试验中发生的平均次数。例6已知某厂生产的针剂的废品率为0.01，400支针剂中，废品至少有5支以上的概率是多少？解：设4