第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1.ppt

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1、概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科.随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来.也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象.研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究.极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:与大数定律中心极限定理4.6.大数定律与中心极限定理4.6.1切比雪夫不等式设随机变量X有期望E(X)和方差，则对于任给>0,或由切比雪夫不等式可以看出，若越小，则事件{

2、X-E(X)

3、<}的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大.由此可体会方差的概率意义：它刻划了随机变量取值的离散程度.当方差已知

4、时，切比雪夫不等式给出了r.vX与它的期望的偏差不小于的概率的估计式.如取可见，对任给的分布，只要期望和方差存在，则r.vX取值偏离E(X)超过3的概率小于0.111.例1:已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.解：设每毫升白细胞数为X依题意，E(X)=7300,D(X)=7002所求为P(5200X9400)P(5200X9400)=P(5200-7300X-73009400-7300)=P(-2100X-E(X)2100)=P{

5、X-E(X)

6、2100}由切比雪夫不等式P{

7、X-E(X

8、)

9、2100}即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/9.例2:在每次试验中，事件A发生的概率为0.75,利用切比雪夫不等式求：n需要多么大时，才能使得在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90?解：设X为n次试验中，事件A出现的次数，E(X)=0.75n,的最小的n.则X~B(n,0.75)所求为满足D(X)=0.75*0.25n=0.1875n=P(-0.01n

10、X-E(X)

11、<0.01n}P(0.74n

12、X-E(X)

13、<0.01n}

14、解得依题意，取即n取18750时，可以使得在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90.大量的随机现象中平均结果的稳定性4.6.2大数定律大量抛掷硬币正面出现频率字母使用频率生产过程中的废品率……几个常见的大数定律定理1（切比雪夫大数定律）设X1,X2,…是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即D(Xi)≤K，i=1,2,…，切比雪夫则对任意的ε>0，证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式.设随机变量X有期望E(X)和方差，则对于任给>0,切比雪夫大数定律表明，独立随机变量序列{Xn}，如果方差有共同的上界，则

15、与其数学期望偏差很小的概率接近于1.随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近于1.即当n充分大时，差不多不再是切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有下面的定理.定理2（独立同分布下的大数定律）设X1,X2,…是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,…,则对任给>0,下面给出的贝努里大数定律，是定理2的一种特例.贝努里设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，引入i=1,2,…,n则是事件A发生的频率于是有下面的定理：设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对任给的ε>0，定

16、理3（贝努里大数定律）或贝努里贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率Sn/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.任给ε>0，蒲丰投针问题中解法的理论依据就是大数定律当投针次数n很大时，用针与线相交的频率m/n近似针与线相交的概率p，从而求得π的近似值.针长L线距a下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.设随机变量序列X1,X2,…独立同分布，具有有限的数学期E(Xi)=μ,i=1,2,…，则对任给ε>0，定理3（辛钦大数定律）辛钦辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.例如要

17、估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性的地块，例如n块.计算其平均亩产量，则当n较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计.下面我们再举一例说明大数定律的应用.定积分的概率计算法求的值我们介绍均值法，步骤是1)产生在(0,1)上均匀分布的随机数rn,2)计算g(rn)，n=1,2,…,Nn=1,2,…,N即3)用平均值近似积分值求的值因此，当N充分大时，原理是什么呢？设X~U(0,1)由大数定律应如何近似计算？请